Conversion Between (R)LWE

参考文献：

1. [MS18] Micciancio D, Sorrell J. Ring packing and amortized FHEW bootstrapping[J]. Cryptology ePrint Archive, 2018.
2. [BGGJ20] Boura C, Gama N, Georgieva M, et al. Chimera: Combining ring-lwe-based fully homomorphic encryption schemes[J]. Journal of Mathematical Cryptology, 2020, 14(1): 316-338.
3. [CDKS21] Chen H, Dai W, Kim M, et al. Efficient homomorphic conversion between (ring) LWE ciphertexts[C]//International Conference on Applied Cryptography and Network Security. Cham: Springer International Publishing, 2021: 460-479.
4. [LHH+21] Lu W, Huang Z, Hong C, et al. PEGASUS: bridging polynomial and non-polynomial evaluations in homomorphic encryption[C]//2021 IEEE Symposium on Security and Privacy (SP). IEEE, 2021: 1057-1073.

[MS18] 为了实现均摊 FHEW 自举，提出了 Ring packing 技术：将多个 LWE 密文（行矢）堆叠为 $(A,b)$，然后按列转化为多项式 $a_j(x),b(x)$，使用 Key-Switch 执行同态线性解密 $A\cdot E(s)+b$（私钥被加密在多项式的常数项），最终获得打包了 $\mu (x)={\sum }_j{\mu }_j{x}^j$ 的单个 RLWE 密文。虽然它是 Coeff Packing 的，但是 [MS18] 中的同态 InvDFT 的目标是加速同态的多项式乘法（线性解密部分），而非 SIMD 打包并行。但是其中的 SwK 是对于 LWE 私钥的各个分量分别用 RLWE 加密的 $RLW{E}_{s^{\prime }}(s_i\cdot g_j)$，规模大、速度慢。计算过程中不需要用到同态旋转（主要的开销是秘钥切换），仅仅是对于 $E(s)$ 的同态线性运算。

[BGGJ20] 提出的 Chimera 也使用类似的堆叠技术，将 TLWE 打包转换到 RLWE 密文上。不过它将堆叠出的矩阵 $C=(A,b)$ 直接乘以 InvDFT，于是 $(InvDFT\cdot C)\cdot s=InvDFT(\mu (x))$，这就将各个 ${\mu }_j$ 编码到了明文槽。它的 SwK 也是各个私钥分量分别被加密在系数上 $RGS{W}_{s^{\prime }}(s_i)$，规模很大（GB 级别）

[CDKS21] 提出了新的 LWE 的 Key-Switch 技术（后文简记 KS），将 LWE 密文嵌入到 RLWE 密文上，对应的 SwK 将LWE 私钥作为单个多项式做 RLWE 加密 $RLW{E}_{s^{\prime }}(s(x)\cdot g_j)$，从而极大的提高了 KS 的速度（两个数量级）。需要使用分圆域的自同构的某些特殊性质，消除一些杂项。推广这个 KS 过程，可以获得 LWE 打包到 RLWE 的过程，不过它也是 Coeff Packing 的（还应该使用 Coeff-to-Slot 过程将它们编码到明文槽）。令 $N$ 是 RLWE 的维度，打包 $n=N$ 个 LWE 密文，复杂度为 $O(N)$ 次同态自同构，$O(N)$ 次同态数乘。

之后的 Pegasus 也使用密文堆叠技术，对于私钥 $s$ 的密文做线性变换，来实现 LWE-to-RLWE 过程。同态线性变换过程中，采取对角线乘法（旋转+阿达玛），LWE 私钥作为一个整体被加密在明文槽上 $RLW{E}_{s^{\prime }}(Ecd(s,\Delta ))$，规模大大减小（MB 级别），同态解密的结果直接在明文槽上。令 $N$ 是 RLWE 的维度，打包 $n=N$ 个 LWE 密文，复杂度为 $O(\sqrt{N})$ 次同态旋转（由若干个自同构组成，完全分裂的二的幂分圆环只需要一个），$O(N)$ 次同态数乘。

Conversion Between RLWE

Tower of Cyclotomic

令 $m=2^{L+1}$ 是二的幂，$N=\varphi (m)=2^L$ 也是二的幂，分圆域 $K=\mathbb{Q}({\zeta }_m)\cong \mathbb{Q}[X]/(X^N+1)$，分圆整数环 $R=\mathbb{Z}[{\zeta }_m]\cong \mathbb{Z}[X]/(X^N+1)$，为了区分不同维度我们记为 $K_N,R_N$

根据代数理论，域扩张 $K/\mathbb{Q}$ 都是 Galois 扩张，Galois 群 $Gal(K/\mathbb{Q})\cong {\mathbb{Z}}_m^{\ast }=\{1,3,\cdots ,2N-1\}$，自同构：
$${\tau }_d:{\zeta }_m\to {\zeta }_m^d,\forall d\in {\mathbb{Z}}_m^{\ast }$$
域的迹：
$$T{r}_{K/\mathbb{Q}}:a\in K\mapsto \sum _{\tau \in Gal(K/\mathbb{Q})}\tau (a)\in \mathbb{Q}$$
根据代数知识，$T{r}_{K/\mathbb{Q}}$ 是 $\mathbb{Q}$-线性映射，并且满足

• $T{r}_{K/\mathbb{Q}}(1)=[K:\mathbb{Q}]=N$
• $T{r}_{K/\mathbb{Q}}(X^i)=0,\forall i\ne 0$

对于分圆塔：
$$K=K_N\ge K_{N/2}\ge \cdots \ge K_1=\mathbb{Q}$$
其中 $K_n,n=2^l$ 可以作为 $K_N$ 的子域（$R_n\le R_N$ 类似），设置 $Y=X^{N/n}$，
$$K_n=\left\{\sum _{i\in [n]}{a}_i{Y}^i:a_i\in \mathbb{Q}\right\}\subseteq K_N$$
基于分圆塔，可以将迹分解：
$$T{r}_{K/\mathbb{Q}}=T{r}_{K_2/K_1}\circ \cdots \circ T_{K_N/K_{N/2}}$$
易知，相邻的域扩张的次数为 $2$，仅包含一个非凡自同构（另一个是恒等映射）：
$$Gal(K_{2^l}/K_{2^{l-1}})=\{{\tau }_1{|}_{K_{2^l}},{\tau }_{2^l+1}{|}_{K_{2^l}}\},1\le l\le L$$
其中的 ${\tau }_{2^l+1}{|}_{K_{2^l}}$ 是自同构映射 ${\tau }_{2^l+1}\in Gal(K/\mathbb{Q})$ 限制在 $K_{2^l}\subseteq K_N$ 上，容易验证它是 $K_{2^l}$ 的 $K_{2^{l-1}}$-自同构。进一步的，简记 $n=2^l$，$Y=X^{N/n}$ 是 $K_n/\mathbb{Q}$ 的扩张元，那么有：
$$T{r}_{K_n/K_{n/2}}(Y^i)=\{\begin{array}{rlr}2Y^i,& & \forall 2\mid i\\ 0,& & \forall 2\nmid i\end{array}$$
因此，映射 $\mu \in K_n\mapsto T{r}_{K_n/K_{n/2}}(\mu )\in K_{n/2}$，记号 $a\Vert b$ 表示 “恰好整除”，

1. 将系数 $\mu [i],(2N/n)\Vert i$，加倍
2. 将系数 $\mu [i],(N/n)\Vert i$，清零
3. 元素 $\mu \in K_n\subseteq K_N$ 的其他系数本来就是零，保持

我们定义 $[N]=\{0,1,\cdots ,N-1\}$ 的一组划分（子域的系数索引），
$$I_k:=\{i\in [N]:2^k\Vert i\},0\le k<L$$
特别地设置 $I_L=\{0\}$，容易验证 $[N]={\bigcup }_k{I}_k$

对于 $d=2^l+1,1\le l\le L$，简记 $i=2^{k}j\in I_k$，其中 $j$ 是奇数，
$$i\cdot d=2^{k+l}j+2^{k}j=\{\begin{array}{ll}{2}^k(2^{l}j+j)\in I_k& \forall 0\le k\le L\\ 2^{k}j=i(\mathrm{mod}2N),& \forall k>L-l\\ 2^L+2^{k}j=N+i(\mathrm{mod}2N),& k=L-l\end{array}$$
因此，${\tau }_d:{\zeta }^i\to {\zeta }^{i\cdot d}$ 是对各个索引 $I_k$ 做了符号置换（signed permutation），$\forall i\in I_k,\exists r\in I_k,{\tau }_d(X^i)=\pm X^r$。特别地对于 $k\ge L-l$ 的那些 $I_k$，
$${\tau }_d(X^i)=\{\begin{array}{rlr}{X}^i,& & \forall i\in \bigcup _{k>L-l}{I}_k\\ -X^i,& & \forall i\in I_{L-l}\\ ...& & otherwise\end{array}$$
因此，映射 $\mu \in K_N\mapsto \mu +{\tau }_d(\mu )\in K_N$，

1. 将系数 $\mu [i],2^{L-l+1}|i$，加倍
2. 将系数 $\mu [i],i\in I_{L-l}$，清零
3. 其他系数的变化较为复杂

LWE-to-LWE

LWE 密文 $(b,a)\in {\mathbb{Z}}_q^{1+N}$，私钥 $s\in {\mathbb{Z}}^N$，线性解密获得相位（不考虑纠错），
$${\mu }_0=b+⟨a,s⟩(\mathrm{mod}q)$$
执行 KS 时，抽象思路是 $K=\{LW{E}_{s^{\prime }}(s_i)\}$，然后同态解密获得 $LW{E}_{s^{\prime }}({\mu }_0)$，但是这么做的复杂度太高了。[CDKS21] 提出了一种新的 KS 过程：

1. 将 $a$ 转化为多项式 $a(x)=\iota (a)\in R_{N,q}$，其中的映射 $\iota :{\mathbb{Z}}^N\to R_N$ 是将向量作为多项式系数
2. 将 $s$ 转化为多项式 $s(x)={\tau }_{-1}\circ \iota (s)\in R_N$，其中的 ${\tau }_{-1}$ 是因为多项式乘积是向量反卷积

那么，获得的 $(b,a(x))\in R_{N,q}^2$ 可以视为 $s(x)$ 加密的 RLWE 密文，容易验证 $\mu (x)=b+a(x)s(x)\in R_{N,q}$，它的常数项 $\mu [0]$ 恰好就是 ${\mu }_0$ 了。

因此我们可以使用 $K=\{RLW{E}_{s^{\prime }}(s(x)\cdot g_i)\}$ 作为 SwK，执行 RLWE 的秘钥切换，最后提取出常数项对应的 LWE 密文。其中的 $g=(g_1,\cdots ,g_d)$ 是 Gadget Vector，可使用 [BGV12] 的 Base decomposition 或者 [BEHZ16] 的 Prime decomposition（用于兼容 RNS 系统）。

具体算法为：

LWE Key-Switch 的噪声为 $e_{ks}=⟨g^{-1}(c_1),e⟩$，其中 $e\leftarrow {\chi }_{\sigma }$ 是 SwK 的噪声。为了兼容 RNS 系统，我们使用素数分解 $g^{-1}:a\mapsto \{[a{]}_{q_i}\in R_{N,q_i}\}$，那么可以计算出 $e_{ks}$ 各个系数的方差
$$V_{ks}\le \frac{1}{12}N{\sigma }^2\cdot \sum _i{q}_i^2$$
易知 LWE-to-LWE 的噪声就是 Key-Switch 的噪声。

LWE-to-RLWE

上述的 LWE-to-LWE 过程中，产生的 $c{t}^{\prime }$ 并非是有效 RLWE 密文（相位只有常数项是有意义的，其他位置都是无效数据）。[CDKS21] 使用迹 $T{r}_{K/\mathbb{Q}}$ 来消除 $X^i,i\ne 0$ 的系数，只保留常数项（缩放因子 $N$）。

直接计算 $T{r}_{K/\mathbb{Q}}$ 需要分别计算各个 ${\tau }_d,d\in {\mathbb{Z}}_m^{\ast }$，共计需要 $N$ 个自同构映射（每一次都需要做 KS 过程）。因此，借助分圆塔将 $T{r}_{K/\mathbb{Q}}$ 分解，成为 $L=\log N$ 个相邻分圆域的迹 $T{r}_{K_{2^l}/K_{2^{l-1}}}$ 的组合，这样就只需要计算 $\log N$ 个非凡自同构。

具体算法为：

为了消除 $N$ 缩放因子，可以预先对输入的 LWE 密文缩放 $[N^{-1}{]}_q$ 因子，从而上述算法的输出自然地消除了它们。

因为自同构 ${\tau }_d$ 是保长的，因此不会导致噪声过度膨胀。同态迹的噪声是
$$Var\le \frac{1}{3}((\frac{N}{n}{)}^2-1)\cdot V_{ks}$$
选取 $n=1$，LWE-to-RLWE 的噪声就是 $Var\le \frac{1}{3}(N^2-1)\cdot V_{ks}$

LWEs-to-RLWE

假如我们希望将相位是 ${\mu }_j,j\in [n]$ 的多个 LWE 密文打包到单个 RLWE 密文中：直接使用上述的转换得到 $c{t}_j$，然后计算 $c{t}^{\prime }={\sum }_{j\in [n]}c{t}_j\cdot Y^j,Y=X^{N/n}$，那么它的相位就是：
$${\mu }^{\prime }=N\cdot \sum _{j\in [n]}{\mu }_j{Y}^j\in R_n\subseteq R_N$$
然而上述算法的计算效率和噪声增长都不算好。[CDKS21] 提出了 FFT-style 递归算法：假设 $n=2^l$，为了计算 ${\mu }^{\prime }$，可以将 ${\mu }_j$ 分为大小 $2^{l-1}$ 的两组，分别计算出
$$\begin{array}{rl}{\mu }_{even}^{\prime }& =N/2\cdot \sum _{j\in [n/2]}{\mu }_{2j}{Y}^{2j}\in R_{n/2}\\ {\mu }_{odd}^{\prime }& =N/2\cdot \sum _{j\in [n/2]}{\mu }_{2j+1}{Y}^{2j}\in R_{n/2}\end{array}$$
但是实际上我们只需要计算出 ${\mu }_{even},{\mu }_{odd}\in R_N$，使得它们的 $Y^{2j}$ 系数组成了 ${\mu }_{even}^{\prime },{\mu }_{odd}^{\prime }\in R_{n/2}$，然后将 ${\mu }_{odd}$ 旋转 $Y$ 加到 ${\mu }_{even}$ 上，并使用自同构 ${\tau }_d,d=2^l+1$ 来消除 ${\mu }_{odd}$ 那些恰好被旋转到 ${\mu }_{even}^{\prime }$ 位置上的杂项：
$$\mu =({\mu }_{even}+Y\cdot {\mu }_{odd})+{\tau }_d({\mu }_{even}-Y\cdot {\mu }_{odd})$$
由于 $-Y\cdot {\mu }_{odd}$ 的有效系数 $-{\mu }_{2j+1}$ 是在 $Y^{2j+1}$ 上，因此 ${\tau }_d$ 将它们取反为 ${\mu }_{2j+1}$ ，而那些被旋转到 $Y^{2j}$ 的杂项 $-e$ 则保持不变，正好和 $Y\cdot {\mu }_{odd}$ 添加到 ${\mu }_{even}$ 上的杂项 $e$ 相互消除。最终，相位 $\mu \in R_N$ 的那些 $Y^j$ 的系数恰好是 $N\cdot {\mu }_j$，只要再消除其他的杂项就可以得到 ${\mu }^{\prime }\in R_n$，这里可以使用 $T{r}_{K_N/K_n}$ 来消除它们。

具体算法为：

这个算法 Step 2 需要 $n-1$ 次自同构，step 3 需要 $\log (N/n)$ 次自同构，均摊成本为 $\frac{n+\log (N/n)-1}{n}$，只要打包的 LWEs 够多 $n=\Omega (\log N)$，均摊成本仅为 $O(1)$（但是打包 $n\ge 2^{10}$ 个 LWEs 的延迟应该挺高了？）

注意到 ${\mu }_j$ 是打包在系数上的，一般 FHE 可能需要使得消息是打包在明文槽里的，这可以使用 [GHS12] [HS15] [HHC19] 的 Coeff-to-Slot 技术进行转换。[CDKS21] 说这些转换的速度特别快（真的么？秒的量级吧，不算快），因此主要开销还是在 LWEs-to-RLWE 上面。

可以证明 LWEs-to-RLWE 的噪声也是 $Var\le \frac{1}{3}(N^2-1)\cdot V_{ks}$

Lightweight Communication

三种转换的效率和噪声：

优势：

• 原始的 KS 过程，对于前两个参数，执行时间为 $203$、$1628$ 毫秒，因此嵌入到 RLWE 后的效率提升了 $2$ 个数量级（例如 $1.03$ 毫秒）
• 噪声仅为 $O(\log N)$-bit，因此可以使用 LWE 密文，留出足够的噪声空间， $b\in {\mathbb{Z}}_q$ 的大部分空间都可用于存储消息（例如 $389-23$ 比特）

对于云计算场景，我们使用对称版本的 LWE 加密方案，那么多个密文的 $a_j\in {\mathbb{Z}}_q^N$ 完全可以被替代为随机种子，$a_j=PRF(seed,j)$，这导致了 Rate 高达 $1-o(1)$ 的对称加密。在同态运算之前，需要同态解密，因为 LWE-based 是 FHE 友好的（只需要部分的同态解密，不必纠错），直接使用上述的 LWEs-to-RLWE 就可以转化为合适的 FHE 密文（这三种转换都是保护相位的，通用于任意的 FHE 方案）