数据结构之最短路径

  数据结构是程序设计的重要基础，它所讨论的内容和技术对从事软件项目的开发有重要作用。学习数据结构要达到的目标是学会从问题出发，分析和研究计算机加工的数据的特性，以便为应用所涉及的数据选择适当的逻辑结构、存储结构及其相应的操作方法，为提高利用计算机解决问题的效率服务。
  数据结构是指数据元素的集合及元素间的相互关系和构造方法。元素之间的相互关系是数据的 逻辑结构，数据元素及元素之间关系的存储称为 存储结构(或物理结构)。数据结构按照逻辑关系的不同分为 线性结构和 非线性结构两大类，其中，非线性结构又可分为树结构和图结构。
  图是比树结构更复杂的一种数据结构。在线性结构中，除首结点没有前驱、末尾结点没有后继外，一个结点只有唯一的一个直接前驱和唯一的一个直接后继。在树结构中，除根结点没有前驱结点外，其余的每个结点只有唯一的一个前驱(双亲) 结点和多个后继 (子树) 结点。而在图中，任意两个结点之间都可能有直接的关系，所以图中一个结点的前驱结点和后继结点的数目是没有限制的。

1、单源点最短路径

  所谓单源点最短路径，是指给定带权有向图 G 和源点 v₀，求从 v₀ 到 G 中其余各顶点的最短路径。迪杰斯特拉 (Dijkstra) 提出了按路径长度递增的次序产生最短路径的算法，其思想是：把网中所有的顶点分成两个集合 S 和 T，S 集合的初态只包含顶点 v₀，T集合的初态为网中除 v₀ 之外的所有顶点。凡以 v₀ 为源点，已经确定了最短路径的终点并入 S集合中，顶点集合 T则是尚未确定最短路径的顶点的集合。按各顶点与 v₀ 间最短路径长度递增的次序，逐个把 T集合中的顶点加入到S集合中去，使得 v₀ 从到 S集合中各顶点的路径长度始终不大于从 v₀ 到T集合中各顶点的路径长度。
  对于下图 所示的有向网，用迪杰斯特拉算法求解顶点 v₀ 到达其余顶点的最短路径的过程如表 3-1 所示。

终点	1	2	3	4	5
v1	∞	∞	∞	∞	∞
v2	$$\begin{gathered} 100 \\ (v_0,v_2) \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 100 \\ (v_0,v_2) \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 90 \\ (v_0,v_3,v_2) \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 60 \\ (v_0,v_3,v_4,v_2) \end{gathered}$$
v3	$$\begin{gathered} 30 \\ (v_0,v_3) \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 30 \\ (v_0,v_3) \end{gathered}$$
v4	∞	$$\begin{gathered} 60 \\ (v_0,v_5,v_4) \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 50 \\ (v_0,v_3,v_4) \end{gathered}$$
v5	$$\begin{gathered} 10 \\ (v_0,v_5) \end{gathered}$$
说明	在从v0到v1、v2、v3、v4、v5的路径中，(v0，v5)最短，则将顶点 v5加入S集合，并且更新 v0到v4的路径	在从v0到v1、v2、v3、v4的路径中，(v0，v3)最短，则将顶点 v3加入S集合，并且更新 v0到v2、 v0到v4的路径	在从v0的到v1、v2、v4的路径中，(v0，v3，v4)最短，则将顶点 v4加入S集合，并且更新 v0到v2的路径	在从v0的到v1、v2的路径中，(v0，v3，v4，v2)最短，则将顶点 v2加入S集合	v0的到v1无路径
集合S	{v0, v5}	{v0, v5, v3}	{v0, v5, v3, v4}	{v0, v5, v3, v4, v2}

  为了能方便地求出从 v₀ 到 T 集合中各顶点最短路径的递增次序，算法实现时引入一个辅助向量 dist。它的分量 dist[i] 表示当前求出的从 v₀ 到终点 v_i 的最短路径长度。这个路径长度并不一定是最后的最短路径长度。它的初始状态为： 若从 v₀ 到 v_i 有弧，则 dist[i]为弧上的权值；否则，置 dist[i] 为 ∞。显然，长度为 dist[u]= min{dist[i] | v_i∈ V(G)} 的路径就是从 v₀ 出发的长度最短的一条最短路径。此路径为(v₀,u)，这时顶点 u 应从集合T中删除，将其并入集合 S。
  设图采用邻接矩阵 arcs 存储，那么每次选出一个顶点 u 并使之并入集合 S后，就根据情况修改T集合中各顶点的路径长度 dist。对于T集合中的某一个顶点 i 来说，其更短路径可能为(v₀， …，v_u， v_i)。也就是说，若dist[u]+arcs[u][i]   对 T集合中各顶点的 dist 进行修改后，再从中挑选出一个路径长度最小的顶点，从T集合中删除之并将其并入S集合。依此类推，就能求出源点到其余各顶点的最短路径长度。

2、每对顶点间的最短路径

  若每次以一个顶点为源点，重复执行迪杰斯特拉算法 n 次，便可求得网中每一对顶点之间的最短路径。下面介绍弗洛伊德 (Floyd) 提出的求最短路径的算法，该算法在形式上要更简单一些。
  弗洛伊德算法思想是：假设图采用邻接矩阵的方式存储，需要求从顶点 v_i 到 v_j 的最短路径。arcs[i][j] 表示弧 (v_i,v_j)的权值，若此弧不存在，则权值为区别于有效权值的一个数。如果存在 v_i 到 v_j 的弧，则从 v_i 到 v_j 存在一条长度为 arcs[i][j] 的路径，该路径不一定是最短路径，尚需进行n次试探。首先考虑路径 (v_i,v₀,v_j)是否存在 (即判别路径 (v_i,v₀) 和 (v₀,v_j)是否存在)，若存在，则比较 (v_i,v_j)与(v_i,v₀,v_j)的路径长度，取较短者为从 v_i 到 v_j 且中间顶点的序号不大于0的最短路径。假如在路径上再增加一个顶点 v_i，也就是说，如果 (v_i,···,v₁)和(v₁,···,v_j) 分别是当前找到的中间顶点的序号不大于 0的 v_i 到 v₁ 以及 v₁到v_j 的最短路径，那么 (v_i,···v₁···,v_j)就有可能是从 v_i 到 v_j 且中间顶点的序号不大于1 的最短路径。将它与已经得到的从 v_i 到 v_j 的中间顶点的序号不大于 0 的最短路径相比较，从中选出中间顶点的序号不大于 1 的最短路径之后，再增加一个顶点 v₂ 继续进行试探，依此类推。一般情况下，若(v_i,···,v_k)和(v_k,···,v_j) 分别是从v_i 到v_k和 v_k 到 v_j 的中间顶点的序号不大于k-1 的最短路径，则将(v_i,···,v_k,···,v_j)与已经得到的从 v_i 到 v_j 的中间顶点的序号不大于 k-1 的最短路径相比较，长度较短者便是从 v_i 到 v_j 的中间顶点的序号不大于k的最短路径。这样，经过 n 次试探后，最后求得的必是从 v_i 到 v_j 的最短路径。按此方法，可以同时求得各对顶点间的最短路径。