荒原之梦·考研数学：2025 考研每日一题（002）

题目

$$I=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(1-x)(1-\sqrt{x})\cdots (1-\sqrt[n]{x})}{(1-x{)}^n}=?$$

解析

$$\begin{array}{rl}I=& \underset{x\to 1}{\lim }\frac{(1-x)(1-\sqrt{x})\cdots (1-\sqrt[n]{x})}{(1-x{)}^n}\\ =& \underset{(x-1)\to 0}{\lim }\frac{(1-x)[1-\sqrt{1+(x-1)}]\cdots (1-\sqrt[n]{1+(x-1)})}{(1-x{)}^n}\\ =& \underset{(x-1)\to 0}{\lim }\frac{(1-x)[-\frac{1}{2}(x-1)]\cdots [-\frac{1}{n}(x-1)]}{(1-x{)}^n}\\ =& \underset{(1-x)\to 0}{\lim }\frac{(1-x)\frac{1}{2}(1-x)\cdots \frac{1}{n}(1-x)}{(1-x{)}^n}\\ =& \underset{(1-x)\to 0}{\lim }\frac{(1-x{)}^n\cdot \frac{1}{1}\cdot \frac{1}{2}\cdots \frac{1}{n}}{(1-x{)}^n}=\frac{1}{n!}\end{array}$$

详细解析：当分子中包含无穷多个因式的时候，该怎么计算极限？ - 荒原之梦

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