AcWing.291.蒙德里安的梦想（状态压缩dp）

求把 $N$×$M$ 的棋盘分割成若干个 $1$×$2$ 的长方形，有多少种方案。

例如当 $N$=2，$M$=4 时，共有 5 种方案。
当 $N$=2，$M$=3 时，共有 3 种方案。

如下图所示：

输入格式
输入包含多组测试用例。

每组测试用例占一行，包含两个整数 $N$ 和 $M$。

当输入用例 $N$=0，$M$=0 时，表示输入终止，且该用例无需处理。

输出格式
每个测试用例输出一个结果，每个结果占一行。

数据范围
1≤N,M≤11

输入样例：

1 3
1 4
2 2
2 3
2 4
2 11
4 11
0 0

输出样例：

0
1
2
3
5
144
51205

首先的重要结论为：摆放横着的长方形的方案数量数量与所有的摆放方案数量相等

每次我们将横着的长方形摆放好之后，剩下的空间留给竖着的长方形的摆放方式是已经定好的，所以摆放横着的长方形的方案数量就是总的摆放方案数量

我们用$f[i][j]$来表示：在第i列中，从第i-1列占用到第i列的横向长方形的占用情况下的方案数量，并且$j$用二进制数来存储表示，有占位为1，没有为0，比如下图

那么第一列中，$j$等于1000000，第二列中，$j$等于100100，依此类推
那么$j$就会有1 << n种情况，即$j$从000…取到111…

每次转移时，都要对$i-1$层进行检查：
用$k$代表上一层的$j$。

1.必须满足j & k == 0，这样能够避免两个横向长方形重叠
2.必须满足j | k不存在连续奇数个0，这样能够避免出现竖向长方形填不进去的情况

代码如下：(注:1 << n = $2^n$)

#include
#include
using namespace std;

const int N = 12, M = 1 << N;

int n, m;
long long f[N][M];
bool st[M];

int main() {
	while (cin >> n >> m,n || m) {
		memset(f,0,sizeof f);	//初始化dp数组

		for (int i = 0; i < 1 << n; i++) {	//枚举所有j
			st[i] = 1;
			int cnt = 0;	//cnt:当前连续0的个数
			
			for (int j = 0; j < n; j++) {	//枚举所有行
				if (i >> j & 1) {	//如果这一位是1
					if (cnt & 1)
						st[i] = 0;	//如果有奇数个0，那么不对
					cnt = 0;	//重置
				}
				else {
					cnt++;	//如果这一位是0，那么cnt要增加1
				}
			}	
			if (cnt & 1)
				st[i] = 0;
				
		}

		f[0][0] = 1;	//第0列肯定是0，因为不可能出现一个从第-1列来的长方形

		for (int i = 1; i <= m; i++)	//枚举所有列
			for (int j = 0; j < 1 << n; j++)	//枚举第i层所有状态
				for (int k = 0; k < 1 << n; k++)	//枚举第i-1列的所有状态
					if ((j & k) == 0 && st[j | k])	//如果满足条件
						f[i][j] += f[i - 1][k];		//则转移

		//在任何情况下，不可能出现从m-1列伸到m列的长方形,故可以直接输出f[m][0]
		cout << f[m][0] << endl;
	}
	return 0;
}