AcWing.876.快速幂求逆元

给定 $n$ 组 a_i,p_i，其中 p_i 是质数，求 a_i 模 p_i 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 $impossible$。

注意：请返回在 $0\sim p-1$ 之间的逆元。

乘法逆元的定义若整数 $b，m$ 互质，并且对于任意的整数 $a$，如果满足 $b|a$，则存在一个整数 $x$，使得 $\frac{a}{b}\equiv a\ast x(modm)$，则称 $x$ 为 $b$ 的模 $m$ 乘法逆元，记为 b⁻¹(mod m)。

$b$ 存在乘法逆元的充要条件是 $b$ 与模数 $m$ 互质。当模数 $m$为质数时，b^m−2 即为 $b$ 的乘法逆元。

输入格式
第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含一个数组 a_i,p_i，数据保证 p_i 是质数。

输出格式
输出共 $n$ 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

若 a_i 模 p_i 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 $impossible$。

数据范围
$1\le n\le 105,1\le ai,pi\le 2\ast 10$ ⁹

输入样例：

4 3
8 5
6 3

输出样例：

2
impossible

即求一个数x，使得$b\ast x\equiv 1（modp）$又由费马定理，得$b$ ^p-1 $\equiv 1(modm)$，那么$b\ast b$ ^p-2 $\equiv 1(modm)$，可得逆元就为$b$ ^p-2 $modm$。

当$b$是$p$的倍数的时候，即$b$和$p$不互质的时候，最后$mod$后会得到$0$，一定无解

代码：

#include
using namespace std;
#define ll long long

int qmi(int a, int k, int p) {
	int res = 1;
	while (k) {
		if(k & 1) res = (ll)res * a % p;
		k >>= 1;
		a = (ll)a * a % p;
	}
	return res;
}

int main() {
	int n; cin >> n;
	while (n--) {
		int a, p; cin >> a >> p;
		int ans = qmi(a, p - 2, p);
		if (a % p)printf("%d\n", ans);
		else printf("impossible\n");
	}
	return 0;
}