正式阶段高等数学复习之微分

导数这一部分包括四个大部分：导数的概念、导数的计算、导数的性质、导数的应用，我们分别介绍这四个部分的知识点和重要题型。

一、导数的概念

1、导数：函数某一点处的变化率，有两种定义形式（当x->x0,f(x)-f(x0)/x-x0）和(当h->0时,f(x0+h)-f(x0)/h)，虽然是两种形式，但我们能看出，一个点处是否有函数一定与这一个定点处的函数值有关（但某一点处的极限那里，极限值与定义值无关）。

题型一：给一个极限告诉我们这个极限存在，让我们判断导数是否存在。我们要抓住三个点判断，首先一定要有定点，第二上面是变化后的函数值-变化前的函数值，第三是左右导数都要存在并且相等才行。

题型二：告诉我们这个函数某一点导数存在，让我们求某个极限，这就要将这个极限凑成导数的形式（凑的时候有好几种方法，比如整体换元，这个方法是因为极限整体就是一个数值，只要换的元还是趋向于原先的值，换什么都行；加减凑）

题型三：让我们判断某点处是否可导，我们要先判断是否连续，然后用导数的定义，看这个极限是否存在，若存在则可导。若不存在则不可导，不存在的情况就是之前极限不存在的情况（有左右极限不相等，-》无穷，振荡，函数在趋向的过程中无定义）

这里有一个小结论，如果f(x)在x=x0处导数不存在，则F(x)=f(x)*g(x)在x=x0处可导的充要条件是g(x0)=0或当x-x0时，g(x)=0（因为g(x)可导，所以一定连续，所以这两个条件一样）

补充一个比较重点的知识，这里面有对函数的理解：给我们一个函数让我们找出所有的不可导点

首先我们可以把这个函数写成一个分段函数，分段点是原先给定的分段点（比如分段函数或者带有绝对值的函数）和函数定义不存在的点，然后分别对这些分段点判断是否可导，这就是所有的不可导点，其他的点因为都是初等函数，所以在定义域内都是可导的。这个很重要，后面求函数的极值点和拐点中我们找导数不存在的点的时候会用到。

2、微分：微分是函数某一点处的改变量的线性主部，我们这里是用均匀变化的来近似非均匀变化的，这个思想在微积分中很重要，dy=f'(x0)dx

这里的题型基本就是求导

3、导数与微分的几何意义：导数函数某一点处的变化率，也就是函数某一点处的切线的斜率。

微分就是函数某一点处的改变量的线性主部，也就是函数切线上的改变率。

这里的题型一般是求函数在某一点处的切线，也就是要求在这一点处的切线的斜率和这一点的坐标值。

4、连续、可导、可微之间的关系：可导与可微之间是充要的，连续是可导的必要条件，可导是连续的充分条件。

如果在题目中告诉我们某个函数2阶可导，那我们求极限的时候用洛必达法则只能用到一阶。why？因为函数二阶可导只能证明函数一阶连续可导，二阶函数不一定连续，而且当x->x0，f''(x0)是否存在都不一定（这是证明二阶导连续的三个条件之一都不一定能满足）。但如果告诉我们某个函数二阶连续可导，则可以用到二阶。

补充：我们理解一下充分条件、必要条件以及充要条件，如果A+B能推出C，则A+B就是C的一个充分条件，A或者B是C的必要条件，如果A-》B，B-》A,则这两个互为充要条件。比如上面的连续是可导的必要条件，可导是连续的充分条件。

二、导数的计算

1、基本公式

2、求导法则：有理运算求导法则、复合函数求导法则（一定要搞清楚对谁求导，求到底）

补充：若f(x)是偶函数，则f'(x)为奇函数；若f(x)是奇函数，则f'(x)为偶函数

3、隐函数求导法则

做这种题的时候我们求二阶导是用一阶导的结果还是接着求，这个不同题目有不同的处理方式，最后要整理成x和y的表达式，比如求y''最后就不能还有y'，比较考验计算能力

4、反函数的导数

反函数是什么？反函数和函数共用一条曲线，反函数的导数就是原函数导数的倒数，这个的原理我们也应该清楚。

5、参数方程求导

6、对数求导法：碰到连乘的函数可以用，碰到幂指函数可以用，碰到幂函数和指数函数可以用。

7、高阶导数：有三种方式处理，第一，用公式，包含sin、cos以及乘法公式和加减法公式；第二，自己推理；第三，用带皮埃诺余项的泰勒公式处理（但这个只能求某一个点的高阶导数）

8、分段函数求导：分段函数分段求（因为在每一段上都是连续可导的），分段点出定义求（这些点处导数不一定存在）

这一部分的题型不多，计算量大，因此要多做题。

三、微分中值定理（导数的性质）

微分中值定理具有将导数和函数连接起来的伟大意义

费马定理：极值点的f'(x)=0

罗尔定理：题型包含（f'(x)=0、f''(x)=0、以及证明线性微分方程成立）

拉格朗日中值定理：主要证明不等式成立

柯西中值定理：两个函数的改变量

泰勒公式：带皮埃诺余项的（局部的，用于求极限、极值等）以及带拉格朗日余项的（整体的，用于研究最值、不等式等）泰勒公式。

微分中值定理的证明题还要多做题总结，这里不过多研究，以及后面的不等式证明和方程根问题都是比较浅的理解，这三大微分证明题后面还会进一步理解。

四、导数的应用

包含单调性、凹凸性，找极值点和拐点、渐近线以及方程根与不等式问题

1、单调性、凹凸性，我们通过单调性和凹凸性可以大体知道函数长什么样

2、找极值点和拐点：首先给我们一个函数我们要知道在哪里会取到极值点和拐点，根据费马引理，可能在f'(x)=0的点取到，我们看y=|x|这个函数在0点不可导但取极值，所以极值点可能在f'(x)=0和一阶导数不存在的点（这里我们提前说过，一个函数导数不存在的点在分段点处，也就是没写成分段函数前的分段点和函数定义不存在的点处），找拐点完全对应找极值点。

我们找到了所有可能取得极值点和拐点的点后要判断这一点处是否真的取极值点或拐点，判断一点是否为极值点有两个方式，用到的是极值点的两个充分条件，第一充分条件：f(x)连续可导或在这一点处连续，若f'(x0)=0,且两边变号则为极值点；第二充分条件，f(x)连续可导，f''(x0)若=0则这个方法不适用，若不等于0则取极值点。拐点的判断与极值点判断的两个充分条件完全对应。

这就是给我们一个函数让我们判断它的所有极值点和拐点的方法，当然我们首先要确定好函数的定义域，否则求乱了就要走弯路。

3、渐近线：水平渐近线、垂直渐近线（在函数的分段点处取到，也就是函数的分段点和函数的无定义点处取到）、斜渐近线。若x趋向于正无穷，有了水平渐近线，肯定没有斜渐近线，若有了斜渐近线肯定没有水平渐近线，趋向于负无穷也是一样。

斜渐近线还有一个确定方式，利用的是斜渐近线的原理，-》无穷时f(x)=ax+b+无穷小，因为这两条线无限接近，若我们的函数能写成这样的形式，则ax+b就是斜渐近线。

这里再强调一次，做渐近线的题目一定要搞清楚函数的定义域，因为我们若求出定义域是x》0，则y=0有可能也是函数的垂直渐近线之一，我们把y=0也看做函数的分段点。

4、方程根与不等式（证明题）：方程根问题有两个要确定的要素，第一是存在性，我们可以用零点定理来确定，或者我们可以用罗尔定理来确定；第二是个数，我们需要用单调性来确定。如果我们想用函数的单调性来确定这个函数有几个零点，那我们就要将其轮廓大体知道，极值点也要知道，因此要求一阶，如果一阶导函数一定》0或《0则函数单增或单减就很好确认，如果不好判断导函数是否》0或《0则求二阶导函数，一般这里的题目不会太难为人，如果太难就是高阶的题，需要后面进一步补充。

不等式问题：第一可以用拉格朗日中值定理来进行放缩证明不等式成立，第二我们可以用函数单调性来证明不等式成立。这里使用单调性也是一样，求导，如果导函数》0或《0则好说，如果难以看出导函数》0或《0，就求二阶导函数来证明一阶导函数》0或《0，再看不出来就继续向下求导。

 5、曲率，有一个函数让我们求它的曲率和曲率半径，这个用公式就可以，但如果让我们求曲率的最大值，这里就要转化成求某个函数在某个区间内的最大值，我们就要求函数的导数，以此来了解函数的单调性和极值点等来做题，这里的题目可难可易。