浮点数舍入规则

前言

想信大家对四舍五入很熟悉，毕竟四舍五入是我们在小学就学了的。但很遗憾，计算机中并没有采用这种舍入方式，因此有时我们会对小数的进位产生疑惑，本文就为大家解开这个疑惑。

IEEE 规定了 4 种舍入方式，先来简单看下它们舍入结果（保留 0 位小数）：

方式	1.40	1.60	1.50	2.50	-1.50
向零舍入	1	1	1	2	-1
向下舍入（$-\infty$）	1	1	1	2	-2
向上舍入（$+\infty$）	2	2	2	3	-1
向偶数舍入（default）	1	2	2	2	-2

上面的前三种舍入方式还比较好理解，最后一种似乎有点莫名奇妙。但它又是最重要的舍入方式，因为它是 IEEE 标准中默认的浮点数舍入方式，下文也将围绕这个方式展开。

10 进制小数

先来简单介绍下前三种方式：

• 向零舍入：在一个数轴上，向 0 方向移动，找到第一个符合的数
  • 相当于，把正数向下舍入，把负数向上舍入
  • 得到值 $\overline{x_0}$，使得 $\mid \overline{x_0}\mid \le \mid x\mid$
• 向下舍入：在一个数轴上，向 $-\infty$ 方向移动，找到第一个符合的数
  • 得到值 $x^{-}$，使得 $x^{-}\le x$
• 向上舍入：在一个数轴上，向 $+\infty$ 方向移动，找到第一个符合的数
  • 得到值 $x^{+}$，使得 $x\le x^{+}$

向偶数舍入：

1. 首先要找一个中间值，保留 0 位小数，中间值为：$0.50$；保留一位小数，中间值为：$0.050$；以此类推
2. 将保留位数以后的值与该中间值比较（比如上面的：0.40、0.60、0.50）
   • 大于中间值，采取向上舍入
   • 小于中间值，采取向下舍入
   • 等于中间值，向数轴上最近的偶数舍入

下面来是一组向偶数舍入示例（保留 2 位小数）：

原数	舍入后	情况
$7.894999$	$7.89$	小于中间值
$7.895001$	$7.90$	大于中间值
$7.895000$	$7.90$	等于中间值
$7.885000$	$7.88$	等于中间值

为什么要采用向偶数舍入？使用四舍五入不好吗？

这是基于统计学的理由：我们有一组数据，需要进行舍入后再计算平均数。假如我们我们将 0.5 直接进位，那么我们最后算出的平均值将会大于实际值。而现在一个数整体上，有 50% 机率变大，有 50% 机率变小，就不存在平均值偏大的统计误差了。

2 进制小数

向偶数舍入的方法同样可以用在 2 进制小数上。

我们将最低有效位的值 0 认为是偶数，值 1 认为是奇数。

保留 0 位小数的中间值为：$0.10_2$，保留 1 位小数的中间值为：$0.010_2$，以此类推。

下面是一组 2 进制小数向偶数舍入示例（保留 2 位小数）：

原数	舍入后	情况
$10.00011{}_2$	$10.00_2$	小于中间值
$10.00110{}_2$	$10.01_2$	大于中间值
$10.11100{}_2$	$11.00_2$	等于中间值
$10.10100{}_2$	$10.10_2$	等于中间值