学习：StatQuest-二项分布，正态分布极大似然

二项分布极大似然

这个概念既是对二项分布在极大似然的条件下的参数估计，求每个数据点似然值的乘积。
我们还是用之前的例子，我们调查7个人，假设每个人喜欢两种口味芬达的概率各为0.5，恰好有4人喜欢橘子味的芬达，3个人喜欢葡萄味的芬达的概率：

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那么我们换个话题，我想求调查7个人，有4个人选择橘子味的芬达，每个人选择橘子味芬达的概率p=0.5的似然值

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右边式子不变（里面参数值都可以变的）

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求调查7个人，有4个人选择橘子味的芬达，每个人选择橘子味芬达的概率p=0.25的似然值

那么接下来，我们想求一下，每个人选择橘子味芬达的概率p为多少时，调查7个人，有4个人选择橘子味的芬达的似然值最大：
若以每个人选择橘子味芬达的概率p为横坐标，似然值为纵坐标，那么一般会有一个概率值p使得似然值最大

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1. 构造似然函数：该似然函数以概率p为自变量

   
   
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   2.自然对数化：

   
   
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   3.求导：令其为0
   
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   意味着当每个人选择橘子味芬达的概率p=0.57时，调查7个人，有4个人选择橘子味的芬达这个事件发生的似然值最大

一般的，总人数n和喜欢橘子味芬达的人数x未知的情况下：

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这样就求得了p与n和x之间的关系了

正态分布极大似然

我们先看一下正态分布的分布密度函数：

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例如我要求某个条件下的似然值，如下图：

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似然值为0.03
那么我们在极大似然的基础上，估计正态分布的参数（均值和方差），对于每个数据点来说，它们的似然值都应该达到最大；那么对于所有的数据点，它们的乘积也会是最大的

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同样的道理：

1. 构造似然函数：

   
   
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2. 取自然对数：

   
   
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   取对数的好处是可以将乘积变成加和

   
   
   
   3.对均值求偏导：
   
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   化简得到

   
   
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3. 对标准差求偏导：

   
   
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   化简得到

   
   
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4. 分别令其为0
   对均值求偏导：

   
   
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   对标准差求偏导：

   
   
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   这样的化就可以求得，均值和方差的参数估计值了