Codeforces Round 785 C. Palindrome Basis

C. Palindrome Basis

题意

定义一个正整数 $a$ 是回文的（没有前导 $0$）当且仅当：$a$ 的十进制表示形式回文

给定一个正整数 $n$ ，求出将 $n$ 拆分成若干个回文数之和的方案数

思路

这是一个经典模型，与爬楼梯问题不同的是：这道题一个物品的选择先后顺序无关
在 $n\le 4\cdot 10^4$ 时，求出回文数字共有 $498$ 个，考虑 $DP$：
用 $dp[i][j]$ 表示只使用前 $j$ 个回文数字来构成 $i$ 的方案数，那么转移为：

$dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-P[j][j]，P[j]\le i$

意思就是：不用第 $j$ 个回文数字 加上 使用 $P[j]$ 的方案数。

初始化：$\forall j\in [1,498],dp[0][j]=1$

#include
#define fore(i,l,r)	for(int i=(int)(l);i<(int)(r);++i)
#define fi first
#define se second
#define endl '\n'
#define ull unsigned long long
#define ALL(v) v.begin(), v.end()
#define Debug(x, ed) std::cerr << #x << " = " << x << ed;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const long long INFLL=1e18;

typedef long long ll;

template<class T>
constexpr T power(T a, ll b){
    T res = 1;
    while(b){
        if(b&1) res = res * a;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

constexpr ll mul(ll a,ll b,ll mod){ //快速乘，避免两个long long相乘取模溢出
    ll res = a * b - ll(1.L * a * b / mod) * mod;
    res %= mod;
    if(res < 0) res += mod; //误差
    return res;
}

template<ll P>
struct MLL{
    ll x;
    constexpr MLL() = default;
    constexpr MLL(ll x) : x(norm(x % getMod())) {}

    static ll Mod;
    constexpr static ll getMod(){
       if(P > 0) return P;
       return Mod;
    }

    constexpr static void setMod(int _Mod){
       Mod = _Mod;
    }
    constexpr ll norm(ll x) const{
       if(x < 0){
           x += getMod();
       }
       if(x >= getMod()){
           x -= getMod();
       }
       return x;
    }
    constexpr ll val() const{
       return x;
    }
    explicit constexpr operator ll() const{ 
       return x; //将结构体显示转换为ll类型： ll res = static_cast(OBJ)
    }
    constexpr MLL operator -() const{ //负号，等价于加上Mod
       MLL res;
       res.x = norm(getMod() - x);
       return res;
    }
    constexpr MLL inv() const{
       assert(x != 0);
       return power(*this, getMod() - 2); //用费马小定理求逆
    }
    constexpr MLL& operator *= (MLL rhs) & { //& 表示“this”指针不能指向一个临时对象或const对象
       x = mul(x, rhs.x, getMod()); //该函数只能被一个左值调用
       return *this;
    }
    constexpr MLL& operator += (MLL rhs) & {
       x = norm(x + rhs.x);
       return *this;
    }
    constexpr MLL& operator -= (MLL rhs) & {
       x = norm(x - rhs.x);
       return *this;
    }
    constexpr MLL& operator /= (MLL rhs) & {
       return *this *= rhs.inv();
    }
    friend constexpr MLL operator * (MLL lhs, MLL rhs){
       MLL res = lhs;
       res *= rhs;
       return res;
    }
    friend constexpr MLL operator + (MLL lhs, MLL rhs){
       MLL res = lhs;
       res += rhs;
       return res;
    }
    friend constexpr MLL operator - (MLL lhs, MLL rhs){
       MLL res = lhs;
       res -= rhs;
       return res;
    }
    friend constexpr MLL operator / (MLL lhs, MLL rhs){
       MLL res = lhs;
       res /= rhs;
       return res;
    }
    friend constexpr std::istream& operator >> (std::istream& is, MLL& a){
       ll v;
       is >> v;
       a = MLL(v);
       return is;
    }
    friend constexpr std::ostream& operator << (std::ostream& os, MLL& a){
       return os << a.val();
    }
    friend constexpr bool operator == (MLL lhs, MLL rhs){
       return lhs.val() == rhs.val();
    }
    friend constexpr bool operator != (MLL lhs, MLL rhs){
       return lhs.val() != rhs.val();
    }
};

const ll mod = 1e9 + 7;
using Z = MLL<mod>;

bool f(int x){
    if(x < 10) return true;
    std::string s = std::to_string(x);
    int len = s.size();
    fore(i, 0, len / 2)
        if(s[i] != s[len - 1 - i])
            return false;
    return true;
}

int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    std::cout.tie(nullptr);
    std::vector<int> PN;
    PN.push_back(0);
    fore(i, 1, 40001)
        if(f(i))
            PN.push_back(i);
    std::vector<std::vector<Z>> dp(40005, std::vector<Z>(505, 0));
    fore(j, 1, 500) dp[0][j] = 1;
    fore(i, 1, 40001)
        fore(j, 1, 500)
            if(PN[j] <= i) dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - PN[j]][j];
            else dp[i][j] = dp[i][j - 1];
    int t;
    std::cin >> t;
    while(t--){
        int n;
        std::cin >> n;
        std::cout << dp[n][498] << endl;
    }
    return 0;
}