【算法-动态规划】通用模板

目录

一、动态规划是什么？

二、通用思路

2-1、状态的定义

2-2、状态转移方程

2-3、遍历顺序

2-4、初始化

2-5、结果输出

2-6、优化

2-6-1 空间的优化

2-6-2 递归实现VS迭代实现（数组存储）

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一、动态规划是什么？

动态规划（DP），即将问题不断转化为子问题，再通过子问题的求解，解决问题。

如下：

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

经过分析，可以得到 F(n)=F(n-1)+F(n-2) 这个我们称之为状态转移方程

即，楼顶有n个台阶，每次可以爬1个或2个，问题可以转化为 n-1个台阶的不同方法（对应下一步爬1个台阶），加上n-2个台阶的不同方法（对应下一步爬2个台阶)。

当只有0个台阶，那么只有0中方法，即F(0)=0

当只有1个台阶，那么只有1种方法，即F(1)=1

当只有2个台阶，那么只有2种方法，即F(2）=2

当只有3个台阶，那么只有F(3)=F(2)+F(1)=2+1=3 

当有n个台阶，那么有F(n)=F(n-1+F(n-2) 种走法。

可以发现，除了0个台阶，其它的都符合我们的推理。

动态规划的难点在于，如何找出状态转移方程，当找到状态转移方程，问题迎刃而解。

因为F(n)依赖于F(n-1)和F(n-2) 所以我们必须将F(n-1）和F(n-2)的值存储下来，常用的方式是定义一个数组，如

int[] dp =new int[n+1];

二、通用思路

下面以上面的题目，尝试将动态规划的步骤拆解

2-1、状态的定义

dp[i] 为 i 个台阶，一共有多少种走法

2-2、状态转移方程

根据上面，状态转移方程为 dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]

2-3、遍历顺序

可以看到，对于 i 依赖于 i-1 和 i-2 ，即前面2个值

所以是后面依赖前面，顺序应该是正序

2-4、初始化

正序遍历，且需要前2个值，初始化dp数组，至少需要两个值，dp[0]为特殊情况，单独处理，所以我们至少需要提前设置

dp[1]=1;
dp[2]=2;

2-5、结果输出

对于n个台阶的最大走法，结果显然为 dp[n]

2-6、优化

2-6-1 空间的优化

可以看到，上述问题使用了一个dp数组，但是实际使用中，我们只需要2个变量就可以替代掉数组的作用，即空间上可以把 优化为

实际操作中，01背包问题，经常会通过二维的dp数组，压缩为一维的dp数组

注意事项：优化空间的过程，不能导致状态值的丢失。

2-6-2 递归实现VS迭代实现（数组存储）

既然是问题转化为子问题求解，显然递归是一个好方式，但是受限于栈的大小以及可开辟的缓存空间，可灵活考虑是使用递归实现，还是迭代实现。

如LeetCode上的一些题目，使用递归，会栈溢出，就只能使用迭代实现，另一些题目，要求空间复杂度在，可考虑递归实现。