图与补图的最大度和最小度的关系问题

图与补图的最大度和最小度的关系

搜了一下这类问题，居然没搜到！
于是自己做了一些整理

先说明一下补图的定义！
设G=为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作
$$\overline{G}$$
或者用如下定义可能更清晰：
设G=为n阶无向简单图，以V为顶点集，令
$$\overline{E}=\left\{\left(u,v\right)|u\in V\wedge v\in V\wedge u\ne v\wedge \left(u,v\right)\notin E\right\}$$
则称
$$\overline{G}=<V,\overline{E}>$$
为G的补图。
注意，补图的顶点和原图的顶点是一样的，只有边改变了！！！顶点没变！
对于一个完全图，很明显 $$\Delta \left(G\right)$$
(最大度)
和
$$\delta \left(G\right)$$
（最小度）
都是n-1。
那么一个图的最大度和补图的最小度是什么关系呢？？
我们画个四阶图理解一下：

对于这样一个图，它的补图如下：

很显然，原图的最大度是2，我们知道，如果此时v1与v4之间关联的话，最大度就变为3。
而正是因为v1是原图最大度对应的点且在v1这个点有那么一条线的空缺！
所以在补图中，这个v1点一定是最小度对应的点，且最小度为1。
再看v4点，
原图最小度对应的是v4，v4的度为0，
那补图中v4就是最大度对应的点，v4的度为3。
由此我们得出规律！
$$\begin{gathered} \Delta \left(\overline{G}\right)=n-1-\delta \left(G\right) \\ \delta \left(\overline{G}\right)=n-1-\Delta \left(G\right) \end{gathered}$$
其中n表示图的顶点的个数。
这样的问题本质上
是要牢牢把握住完全图这个概念去解决，希望对学离散数学的同学有帮助！