二分图算法总结(染色法、匈牙利算法)

二分图算法框架

二分图： 所有的点可以分为两个集合V1、V2，图中任意一条边的两个顶点分别在不同的集合，即任意一个集合的内部不能有边。

二分图中不含奇数环（奇数环： 边数为奇数的环）
解释一下！ 如下图：） 如果 A 放到 V1 集合，B 放到 V2 集合，那么 C 应该放到哪个集合呢，很明显，C 与 A、B 都有边，放哪个集合都不行！！！

---

染色法

1、我们这里将 1 和 2 代表两种颜色（也就是两个集合，染1的在一个集合，染2的在另一个集合），初始时所有点颜色都为0，代表未染色。
2、默认将第一个点染成 1 （默认为2也可以）
3、再 dfs/bfs 对其他点进行染色
4、至少有两个邻接点染色相同，则染色失败，（邻接点染相同颜色的话，说明这两个点在同一集合，而二分图是不能有邻接点在同一集合的）不是二分图，否则就是二分图

① 默认将 A 染成 1

② 那么 B、C、D 只能染 2

③ E 只能染 1

④ 所有点均被染色，并且没有出现两个邻接点是同一颜色，说明此图是二分图

如果在这个图的基础上，我们加一条边，如下图，C 和 D是邻接点染了相同颜色，证明不是二分图

例题： AcWing 860. 染色法判定二分图

dfs做法：

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 1e5+10, M = 2e5+10;
int n,m;
int h[N], e[M], ne[M], idx; //邻接表的存储
int color[N]; 

void add(int a,int b)
{
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

bool dfs(int u,int c)
{
	color[u] = c; //当前这个点u的颜色是 c 
	
	for(int i=h[u]; i!=-1; i=ne[i]) 
	{
		int j = e[i];
		if(!color[j]) //u 的邻接点 j 未被染色  
		{
			dfs(j,3-c); // u的颜色如果是1，j就是3-1=2；u的颜色如果是2，j就是3-2=1 
		}
		else if(color[j] == c) return false; //两邻接点染相同颜色
	}
	return true;
}

int main()
{
	cin >> n >> m;
	memset(h,-1,sizeof(h));
	
	while(m--)
	{
		int a,b;
		scanf("%d%d",&a,&b);
		add(a,b), add(b,a); // 无向图建两条相反方向的边 
	}
	
	bool flag = true;
	for(int i=1; i<=n; i++) //遍历图的所有点 
	  if(!color[i])
	  {
	  	if(!dfs(i,1))  
	  	 {
	  	   flag = false;
		   break;	
		 }
	  }
	  	 
	if(flag)  cout<<"Yes";
	else cout<<"No";
}

bfs做法：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII; //first存点编号，second存颜色 
const int N = 1e5+10, M = 2e5+10;
int n,m;
int h[N], e[M], ne[M], idx; //邻接表的存储
int color[N]; 

void add(int a,int b)
{
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

bool bfs(int u)
{
	queue<PII> q;
	q.push({u,1}); 
	color[u] = 1; //当前这个点u的颜色是 c 
	
	while(q.size()) //队列不空
	{
	   PII t = q.front();
	   q.pop();
	   
	   int ver = t.first, c = t.second;
	   for(int i = h[ver]; i!=-1; i=ne[i])
	   {
	   	  int j = e[i];
	   	  
	   	  if(!color[j]) //未被染色 
	   	  {
	   	    color[j] = 3 - c;
			q.push({j,3-c});   	
		  }
		  else if(color[j] == c) return false; //两邻接点染相同颜色 
	   } 	
	} 
	return true;
}

int main()
{
	cin >> n >> m;
	memset(h,-1,sizeof(h));
	
	while(m--)
	{
		int a,b;
		scanf("%d%d",&a,&b);
		add(a,b), add(b,a); // 无向图建两条相反方向的边 
	}
	
	bool flag = true;
	for(int i=1; i<=n; i++) //遍历图的所有点 
	  if(!color[i])
	  {
	  	if(!bfs(i))  
	  	 {
	  	   flag = false;
		   break;	
		 }
	  }
	  	 
	if(flag)  cout<<"Yes";
	else cout<<"No";
}

---

匈牙利算法

匹配： 一个边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称这个边集是一个匹配
最大匹配： 在匹配的基础上边数最大
匈牙利算法就是求二分图的最大匹配数的。

我们可以把匹配看成类似处对象一样，左边一个集合是所有男孩，右边一个集合是所有女孩，我们需要求最多可以凑成几对情侣。

下图分别是男孩和女孩，连线代表男孩喜欢的女孩（这里的女孩都比较好，只要男孩喜欢她，她就会同意在一起）。
① 首先看 A 男孩，A 男孩喜欢 F、H，且 F 单身。耶，A 和 F在一起了！

② 再看看 B 男孩，B 男孩喜欢 F、G，可 F 已经有男朋友了，但 G 没有男朋友。耶，B 和 G 在一起了！

③ 再看看 C 男孩，C 男孩只喜欢 G 女孩，可 G 已经有男朋友了，C 男孩就去找到 G 的男朋友 B，问 B 能不能换个女朋友？？？（B 是一个渣男，只要他还能和其他的喜欢的女生在一起，他就愿意去和现对象分手），于是，B 看了看自己除了 喜欢G，还喜欢 F ，可 F 也已经有男朋友了，B 找到了 F的男朋友 A，问 A 能不能换个女朋友（A也是渣男），A 发现自己除了 F 还喜欢 H ，很开心的与 F 分手，并与 H 在一起， 于是，B 开心的和 F 在一起了，并与 G 分手（he tui渣男） ，因为 C 男孩的坚持，C 如愿以偿的和 G 在一起了！！！

④ D 男孩可能要好好学习，不想谈恋爱，没有对象，E 女孩因为没有人喜欢，也没有对象。

所以说 ，凑成 3 对情侣(A 和 H、B 和 F、 C 和 G)，最大匹配数为3.

例题： AcWing 861. 二分图的最大匹配

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 510,M = 1e5+10;
int n1,n2,m;
int h[N], e[M], ne[M], idx; //邻接表
int match[N];
bool st[N];

void add(int a,int b)
{
   e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++; 	
} 
 
bool find(int x)
{
	for(int i = h[x]; i!=-1; i=ne[i]) // 遍历 x 男孩喜欢所有的女孩 
	{
	  	int j = e[i];
	  	if(!st[j]) // 如果st[j] = true 就不考虑这个女孩 
	  	{
	  	   st[j] = true; // 标记 j 这个女孩，作用是如果这个女孩有男朋友，我们去找她男朋友有没有可能和别的女孩在一起时，就不需要考虑他现对象 j 了 
		   if(match[j] == 0 || find(match[j]))// 女孩还没有对象或女孩的男朋友可以和其他喜欢的女生在一起 
		   {
		   	 match[j] = x; //匹配成功 
		   	 return true;
		   } 	
		}
	} 
	return false;
}

int main()
{
	cin >> n1 >> n2 >> m;
	memset(h,-1,sizeof(h));
	while(m--)
	{
		int a,b;
		scanf("%d%d",&a,&b);
		add(a,b); //只存一条男生到女生的边就够用啦 
	}
	int res = 0; // 当前匹配的数量
	for(int i=1; i<=n1; i++) // 遍历每个男生
	{
		memset(st,false,sizeof(st)); //代表女孩还没有考虑过，每个女孩只考虑一次
		if(find(i)) res++;  // 男生匹配到了 
	} 
	cout << res;
}

---