代码随想录算法训练营第四十二天|01背包问题、416.分割等和子集

day42 2023/03/13

一、01背包理论基础

画了一个图,如下:

代码随想录算法训练营第四十二天|01背包问题、416.分割等和子集_第1张图片

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

1.确定dp数组以及下标的含义

对于背包问题,有一种写法, 是使用二维数组,即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少

要时刻记着这个dp数组的含义,下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的。

2.确定递推公式

再回顾一下dp[i][j]的含义:从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少。

那么可以有两个方向推出来dp[i][j],

  • 不放物品i:由dp[i - 1][j]推出,即背包容量为j,里面不放物品i的最大价值,此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时,物品i无法放进背包中,所以被背包内的价值依然和前面相同。)
  • 放物品i:由dp[i - 1][j - weight[i]]推出,dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值,那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] (物品i的价值),就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

3.dp数组如何初始化

关于初始化,一定要和dp数组的定义吻合,否则到递推公式的时候就会越来越乱

首先从dp[i][j]的定义出发,如果背包容量j为0的话,即dp[i][0],无论是选取哪些物品,背包价值总和一定为0。

在看其他情况。

状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来,那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j],即:i为0,存放编号0的物品的时候,各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候,dp[0][j] 应该是 0,因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时,dp[0][j] 应该是value[0],因为背包容量放足够放编号0物品。

4.确定遍历顺序

有两个遍历的维度:物品与背包重量

5.举例推导dp数组

【说明】

该二维数组也可以变为一维数组(滚动数组)

递推公式如下:dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

以上的讲解可以开发一道面试题目(毕竟力扣上没原题)。

就是本文中的题目,要求先实现一个纯二维的01背包,如果写出来了,然后再问为什么两个for循环的嵌套顺序这么写?反过来写行不行?再讲一讲初始化的逻辑。

然后要求实现一个一维数组的01背包,最后再问,一维数组的01背包,两个for循环的顺序反过来写行不行?为什么?

注意以上问题都是在候选人把代码写出来的情况下才问的。

就是纯01背包的题目,都不用考01背包应用类的题目就可以看出候选人对算法的理解程度了。

二、分割等和子集

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。

注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200

分析如下:

01背包问题的变式

代码如下:

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector& nums) {
      vector dp(10001,0);
      int sum=0;
      for(int i=0;i=nums[i];j--)
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);
      }
      if(dp[target]==target) return true;
      return false;
    }
};


 

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