代码随想录算法训练营第四十二天 | 01背包问题,你该了解这些! 、01背包问题,你该了解这些! 滚动数组、416. 分割等和子集

学习目标

  • 学习背包问题

学习内容

动态规划:01背包理论基础

动态规划:01背包理论基础
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纯 01 背包问题的经典格式是:
有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
举一个例子:

背包最大重量为4。
物品为:

重量 价值
物品0 1 15
物品1 3 20
物品2 4 30

问背包能背的物品最大价值是多少?

  • 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
    对于背包问题,有一种写法, 是使用二维数组,即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少。

  • 确定递推公式

    • 若不放物品, 则dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时,物品i无法放进背包中,所以被背包内的价值依然和前面相同。)
    • 若放物品:dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] (dp[i - 1][j - weight[i]] + 物品i的价值),就是背包放物品i得到的最大价值

    所以递归公式: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

  • dp数组如何初始化
    首先从dp[i][j]的定义出发,如果背包容量j为0的话,即dp[i][0],无论是选取哪些物品,背包价值总和一定为0。
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dp[0][j],即:i为0,存放编号0的物品的时候,各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候,dp[0][j] 应该是 0,因为背包容量比编号0的物品重量还小。

j >= weight[0]时,dp[0][j] 应该是value[0],因为背包容量放足够放编号0物品。

for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) {  
// 当然这一步,如果把dp数组预先初始化为0了,这一步就可以省略,但很多同学应该没有想清楚这一点。
    dp[0][j] = 0;
}
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

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最后初始化代码如下:

        int goods = weight.length;  // 获取物品的数量
        int[][] dp = new int[goods][bagSize + 1];

        // 初始化dp数组
        // 创建数组后,其中默认的值就是0
        for (int j = weight[0]; j <= bagSize; j++) {
            dp[0][j] = value[0];
        }
  • 确定遍历顺序
    可以先遍历物品或先遍历背包重量:
    遍历物品:

    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    
        }
    }
    

    先遍历重量:

    // weight数组的大小 就是物品个数
    for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
        for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    
  • 举例推导dp数组
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    所以代码如下:

public class BagProblem {
    public static void main(String[] args) {
        int[] weight = {1,3,4};
        int[] value = {15,20,30};
        int bagSize = 4;
        testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);
    }

    /**
     * 动态规划获得结果
     * @param weight  物品的重量
     * @param value   物品的价值
     * @param bagSize 背包的容量
     */
    public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){

		// goods 货物数量
        int goods = weight.length;
        int[][] dp = new int[goods][bagSize + 1];

		for(int i = weight[0]; i <= bagSize; i ++) {
			dp[0][j] = value[0];
		}
		
		for(int i = 1; i < goods; i++) {
			for(int j = 1; j <= bagSize; j ++) {
				if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j];
				else dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i]] + value[i]);
			}
		}

        // 打印dp数组
        for (int i = 0; i < goods; i++) {
            for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
                System.out.print(dp[i][j] + "\t");
            }
            System.out.println("\n");
        }
    }
}


动态规划:01背包理论基础(滚动数组)

对于背包问题其实状态都是可以压缩的。

在使用二维数组的时候,递推公式:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上,表达式完全可以是:dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上,不如只用一个一维数组了,只用dp[j](一维数组,也可以理解是一个滚动数组)。

这就是滚动数组的由来,需要满足的条件是上一层可以重复利用,直接拷贝到当前层。

依旧是这个例子:

背包最大重量为4。
物品为:

重量 价值
物品0 1 15
物品1 3 20
物品2 4 30
  • 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
    在一维dp数组中,dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j]。

  • 确定递推公式

    dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    
  • dp数组如何初始化
    dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j],那么dp[0]就应该是0,因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
    那么dp数组除了下标0的位置,初始为0,其他下标应该初始化多少呢?
    看一下递归公式:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数,如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。

  • 确定遍历顺序

    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    

    倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次!。但如果一旦正序遍历了,那么物品0就会被重复加入多次!

    举一个例子:物品0的重量weight[0] = 1,价值value[0] = 15

    如果正序遍历

    dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

    dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30

    此时dp[2]就已经是30了,意味着物品0,被放入了两次,所以不能正序遍历。

  • 举例推导dp数组
    代码随想录算法训练营第四十二天 | 01背包问题,你该了解这些! 、01背包问题,你该了解这些! 滚动数组、416. 分割等和子集_第5张图片

public class BagProblem {
    public static void main(String[] args) {
        int[] weight = {1,3,4};
        int[] value = {15,20,30};
        int bagSize = 4;
        testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);
    }

    /**
     * 动态规划获得结果
     * @param weight  物品的重量
     * @param value   物品的价值
     * @param bagSize 背包的容量
     */
    public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){

		// goods 货物数量
        int goods = weight.length;
        int[] dp = new int[bagSize + 1];
		
		for(int i = 0; i < goods; i ++) {
			for(int j = bagSize; j >= weight[i]; j--) {
				dp = Math.max(dp[j-1], dp[j-weight[i]] + value[i]);
			}
		}

        //打印dp数组
        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){
            System.out.print(dp[j] + " ");
        }
    }
}

416. 分割等和子集(Middle)

题目链接:416. 分割等和子集

题目:给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。

示例 1:
输入:nums = [1,5,11,5]
输出:true
解释:数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。

示例 2:
输入:nums = [1,2,3,5]
输出:false
解释:数组不能分割成两个元素和相等的子集。

思路:

  • 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
    dp[j] 代表容量 j 的背包在遍历到第 i 个物品时候可存放的最大价值, 这里背包容量是 target, 也就是数组所有元素的总和的二分之一, dp[j] 就是总和最大为 j 时数组里的数的总和的最大值.

  • 确定递推公式
    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-nums[i]] + nums[i]), max里面的dp[j]是遍历第 i-1 个数时候留下的.

  • dp数组如何初始化
    没有负数, 默认初始化为 0 即可.

  • 确定遍历顺序
    如滚动数组, i = 1~num.length, j从nums[i]的总和到0;

  • 举例推导dp数组

时间复杂度:O(N*M) 空间复杂度:O(M), M是sum(nums) / 2

解决方案:

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        if(nums == null || nums.length == 0) return false;
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
            sum += nums[i];
        }
        if(sum % 2 != 0) return false;
        int target = sum / 2;
        int[] dp = new int[target + 1];

        for(int i = 0; i < nums.length; i ++) {
            for(int j = target; j >= nums[i]; j --) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-nums[i]] + nums[i]);
            }
        }

        return dp[target] == target;
    }
}

小结:


总结

小结:

  • 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
  • 确定递推公式
  • dp数组如何初始化
  • 确定遍历顺序
  • 举例推导dp数组

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