平面内最近点对问题

• 实验问题简述

平面中有n个点P1、P2......Pn，n>1，求最近的两个点及他们之间的距离D( Pi,Pj ).

D( Pi,Pj )=square ( ( xi-xj ) ( xi-xj )+( yi-yj ) ( yi-yj ) ) )；

• 实验过程简述及时间复杂度分析

1. 实验算法编程使用C++，并且生成TXT文件，并且将该文件导入到MATLAB当中，进行点的绘制。
2. 暴力算法

1. 暴力算法过程简述
   计算每对点之间的距离，从中比较出最小距离，并且记录下该点对.
2. 暴力算法时间复杂度

求n个点间的最小距离需要计算(n-1)n/2,因此时间复杂度是O（n²）.

·分治算法过简述

确定递归算法出口，若只剩下1/2个点，返回无穷大或者直接计算点之间的距离.

预处理根据x坐标大小对每个点进行排序.

将所有点分成近似相等的左右两部分.

递归的计算左边部分的最小距离，并返回左边最短点对距离.

递归的计算右边部分的最小距离，并返回右边最短点对距离.

预处理对中间区域内的点根据y坐标大小进行排序.

取左右两边的最小距离作为当前的最小距离mindistance.

对于在中线左侧距离中线mindistance距离的点和在中线距离中线mindistance距离的形成的点对，计算他们之间的距离.如果小于mindiatance,那么就更改其的值，并且记录下该点对.下图是中间区域的具体计算方式.

如图中间区域内形成的宽为2d的带状区间，最多可能有n个点，但对于中间左侧区域内的点P1和中间右侧区域内的点P2中的点具有以下稀疏的性质，对于P1中的任意一点，P2中的点必定落在一个d X 2d的矩形中，且最多只需检查6个点（鸽巢原理）.

 PS：补充一下什么是鸽巢原理：对于n+1个鸽子，一共有n个鸽巢，当所有的鸽子全都飞回鸽巢时，那么必定有鸽巢中至少飞进了2只鸽子.

鸽巢原理加强版：当n只鸽子飞进m个巢时，必定至少有一个鸽巢当中有鸽子.

·可视化实现

把程序随机生成的点对输出到.txt文件当中，同时输出平面内最近点对，利用matlab实现可视化。

可视化实现结果如下：

 

让我来感叹一句matlab真的很强大！！