全排列—dfs（递归算法&&手动模拟）

目录

1.dfs全排列深度优先算法思路导图

2.dfs递归思想

3.主旨展现

4.详解手动模拟

5.例题来喽

5.1例题（1）来喽——递归实现排列型枚举

5.2例题（2）来喽——递归实现指数型枚举

5.3例题（3）来喽——递归实现组合型枚举

5.4例题（4）来喽——马走日

5.5例题（5）来喽——开题顺序

5.6例题（6）来喽——找素数

---

1.dfs全排列深度优先算法思路导图

 此图来自AC中的Hasity作者，万分感谢；

2.dfs递归思想

• dfs就是一条路走到头，当无法再往下走时就往上退一步，再看有没有路可以走，如果还没有路的话就再回退一步，重复这个步骤，直到找到可以走的道路；
• 递归的主要思想在于不断调用本身的函数，层层深入，直到遇到递归终止条件后层层回溯，其思想与dfs基本吻合，从而调用递归实现dfs；
• 正如y总讲到的回溯，它是在计算机底层执行的（系统有一个隐藏的栈帮我们做回溯），我们无法看到，也不需要操作。因此，理解并完成递归是它的一个难点;

• 时间复杂度为 O(n*n!)；空间复杂度为 O(n)；

3.主旨展现

• 用 a数组保存排列，当排列的长度为 n 时，是一种方案，进行输出；
• 用bool数组b表示数字是否用过。当b[i]为1时，i已经被用过，b[i] 为0时，i 没有被用过；
• dfs(i) 表示的含义是：在 a[i] 处填写数字，然后递归到下一个位置填写数字。
• 回溯：第 i 个位置填写某个数字的所有情况都遍历后， 第 i 个位置填写下一个数字。

4.详解手动模拟

5.例题来喽

5.1例题（1）来喽——递归实现排列型枚举

题目描述

给定一个整数 m，将数字 1∼m 排成一排，将会有很多种排列方法。

现在，请你按照字典序将所有的排列方法输出。

输入格式

共一行，包含一个整数 m。

输出格式

按字典序输出所有排列方案，每个方案占一行。

输入样例：

3

输出样例：

1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

#include
#include
#include

using namespace std;

const int N = 20;
int a[N], m;
bool b[N];

void dfs(int x)
{
    if (x == m)
    {
        for (int i = 0; i < m; i++)
        {
            cout << a[i] << " ";
        }
        cout << endl;
        return;//回溯
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        if (b[i] != true)
        {
            a[x] = i;
            b[i] = true;
            dfs(x + 1);
            b[i] = false;
        }
    }
    return;//个人感觉加上更容易理解，目的是回溯
}
int main()
{
    cin >> m;
    dfs(0);
    return 0;
}

5.2例题（2）来喽——递归实现指数型枚举

题目描述

打印n个数中的m个数的全排列

样例输入

5 2

样例输出

1 2
1 3
1 4
1 5
2 1
2 3
2 4
2 5
3 1
3 2
3 4
3 5
4 1
4 2
4 3
4 5
5 1
5 2
5 3
5 4

#include
#include
#include

using namespace std;

const int N = 20;
int a[N], n, m;
bool b[N];

void dfs(int x)
{
    if (x == m)//更换输出条件
    {
        for (int i = 0; i < m; i++)//输出m个数
        {
            cout << a[i] << " ";
        }
        cout << endl;
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (b[i] != true)
        {
            a[x] = i;
            b[i] = true;
            dfs(x + 1);
            b[i] = false;
        }
    }
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    dfs(0);
    return 0;
}

5.3例题（3）来喽——递归实现组合型枚举

题目描述

从 1∼n 这 n 个整数中随机选出 m 个，输出所有可能的选择方案。

输入格式
两个整数 n,m ,在同一行用空格隔开。

输出格式
按照从小到大的顺序输出所有方案，每行 1 个。

首先，同一行内的数升序排列，相邻两个数用一个空格隔开。

其次，对于两个不同的行，对应下标的数一一比较，字典序较小的排在前面（例如 1 3 5 7 排在 1 3 6 8 前面）。

数据范围
n>0 ；0≤m≤n ；n+(n−m)≤25

输入样例：

5 3

输出样例：

1 2 3 
1 2 4 
1 2 5 
1 3 4 
1 3 5 
1 4 5 
2 3 4 
2 3 5 
2 4 5 
3 4 5 

#include
#include
#include

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;
int n, m, a[N], b[N];

void dfs(int x, int st, int p)
{
	if (x == p)
	{
		for (int i = 0; i < p; i++)
		{
			cout << a[i]<< " ";
		}
		cout << endl;
		return;
	}
	for (int i = st; i <= n; i++)//不逆序就是字典序的核心
	{
		if (b[i] == 0)
		{
			a[x] = i;
			b[i] = 1;
			dfs(x + 1, i + 1, p);
			b[i] = 0;
		}
	}
}
int main()
{
	cin >> n >> m;
	dfs(0, 1, m);
	return 0;
}

5.4例题（4）来喽——马走日

题目描述

马在中国象棋以日字形规则移动。

请编写一段程序，给定 n×mn×m大小的棋盘，以及马的初始位置 (x,y)(x,y)，要求不能重复经过棋盘上的同一个点，计算马可以有多少途径遍历棋盘上的所有点。

输入格式

第一行为整数 T(T<10)T(T<10)，表示测试数据组数。
每一组测试数据包含一行，为四个整数，分别为棋盘的大小以及初始位置坐标 n,m,x,yn,m,x,y。(0≤x≤n−1,0≤y≤m−1,m<10,n<100≤x≤n−1,0≤y≤m−1,m<10,n<10)。

输出格式

每组测试数据包含一行，为一个整数，表示马能遍历棋盘的途径总数，00 为无法遍历一次。

输入样例

1
5 4 0 0

 输出样例

32

#include
#include
#include

using namespace std;

const int N = 1e3 + 10;
int dx[8] = { -2,-2,-1,-1,1,1,2,2 };
int dy[8] = { -1,1,-2,2,-2,2,-1,1 };
int n, m, a, b, t, ans, d[N][N];

void dfs(int a, int b, int s)
{
    if (s == n * m)//是否遍历完全部象棋
    {
        ans++;
        return;
    }
    for (int i = 0; i < 8; i++)
    {
        int x = a + dx[i], y = b + dy[i];
        if (x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m && d[x][y] == 0)
        {
            d[x][y] = 1;
            dfs(x, y, s + 1);
            d[x][y] = 0;
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        memset(d, 0, sizeof(d));
        ans = 0;
        cin >> n >> m >> a >> b;
        d[a][b] = 1;
        dfs(a, b, 1);
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

5.5例题（5）来喽——开题顺序

题目描述
牛牛打 CF，已知一场比赛有 n 道题，第 i 道题的满分为 ai​，时间系数为 bi​，保底分为 ci​，本场比赛中每次错误提交罚 p 分。即如果牛牛在第 x 分钟，这道题 y 次错误提交后通过第 i 题，他将获得 max(ci,ai−x×bi−y×p) 分。比赛持续 t 分钟，即在 t 分钟（含第 t 分钟）内做出的题目计入总分。你已经知道了他第 i 题需要花费的时间 xi​ 和错误提交次数 yi​ ，请求出牛牛可能的最大得分。

输入描述

第一行三个正整数 n,t,p。（n<9。t，p<1e9）
接下来 n 行，每行 5 个正整数 a,b,c,x,y。(a,b,c,x,y<1e9)

输出描述

一个正整数，表示最大的分数

样例输入

3 120 50
500 2 150 6 1
1000 4 300 12 2
1500 6 450 120 3

样例输出

1266

说明

方案一：先开第 3 题，在 120 分钟时切掉，得到 1500−120×6−50×3=630。此时已无法继续切题，总分 630。

方案二：先开第 1 题，在 6 分钟时切掉，得到 438 分。再开第 2 题，在 18 分钟时切掉，得到 828 分。无法切第三题，总分 1266。

方案三：先开第 2 题，在 12 分钟时切掉，得到 852 分。再开第 1 题，在 18 分钟时切掉，得到 414 分。无法切第三题，总分 1266。

故可能的最大得分为 1266。

#include
#include
#include

using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 1e6 + 10;
LL n, t, p, a[N], b[N], c[N], x[N], y[N], st[N];
LL res = 0, ma = 0;

void dfs(LL time)
{
	if (time > t) return;
	ma = max(ma, res);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (st[i] == 0)
		{
			st[i] = 1;
			res += max(c[i], a[i] - b[i] * (time + x[i]) - y[i] * p);;
			dfs(time + x[i]);
			res -= max(c[i], a[i] - b[i] * (time + x[i]) - y[i] * p);;
			st[i] = 0;
		}
	}
}
int main()
{
	cin >> n >> t >> p;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> a[i] >> b[i] >> c[i] >> x[i] >> y[i];
	}
	dfs(0);
	cout << ma << endl;
	return 0;
}

5.6例题（6）来喽——找素数

题目描述

已知n个整数x1,x2,x3,...,xn,以及1个整数k（ k < n）。从n个整数中任选k个整数相加，可分别得到一系列的和。列如当n = 4，k = 3，4个整数分别为3，7，12，19时，可得全部的组合与它们的和为：
3+7+12=22
3+7+19=29
7+12+19=38
3+12+19=34
现在，要求你计算出和为素数共有多少种
例如上例，只有一种的和为素数：3+7+19=29。

输入
第一行两个空格隔开的整数n，k（ 1 <= n <=20,k < n ）。
第二行n个整数，分别为x1,x2,x3,...,xn（ 1 <= xi  <= 5 * 106）

输出
输出一个整数表示种类数。

样例输入

4 3
3 7 12 19

样例输出

1

#include
#include
#include

using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 1e6 + 10;
LL n, m, a[N], b[N], ans, res;

int cal(int x)//判断素数
{
    if (x < 2) return 0;
    for (int i = 2; i <= x / i; i++)
    {
        if (x % i == 0) return 0;
    }
    return 1;
}

void dfs(int x, int st, int p)
{
    if (x == p + 1)
    {
        if (cal(res) == 1) ans++;
        return;
    }
    for (int i = st; i <= n; i++)//避免重复
    {
        if (b[i] == 0)
        {
            res += a[i];
            b[i] = 1;
            dfs(x + 1, i + 1, p);
            res -= a[i];
            b[i] = 0;
        }
    }
    return;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    //sort(a + 1, a + n + 1);//排不排序都行的
    dfs(1, 1, m);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}