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微分几何——梅向明第四版学习笔记（二） & 曲面论、外微分形式和活动标架

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目录

  • 引出
  • 曲面论
    • 曲面的概念
    • 曲面的切平面和法线
    • 曲面的第一基本形式
      • 曲面域的面积
    • 曲面的第二基本形式
      • 曲面上曲线的曲率
      • 曲面的渐进方向
      • 曲面的共轭方向
      • 曲面的主方向和曲率线
    • 曲面的三个曲率
      • 主曲率
      • 高斯曲率，平均曲率
      • 案例
    • 曲面在一点邻近的结构
    • 曲面的第三基本形式
      • 高斯曲率的几何意义
    • 直纹面和可展曲面
      • 曲面论的基本定理
    • 曲面上的测地线【重要】
    • 高斯波涅公式Gauss-Bonnet公式【重要】
    • 曲面上向量的平行移动
    • 常高斯曲率的曲面
  • 外微分形式和活动标架
    • 格拉斯曼代数
    • 活动标架法
      • 用活动标架法研究曲面
    • 曲面的基本形式
    • 曲面上的曲线，法曲率，测地曲率，测地挠率
    • 闭曲面的高斯-波涅公式【重要】
      • 测地多边形
  • 总结

引出

微分几何——梅向明第四版学习笔记（一） & 向量函数和曲线论

曲面论

曲面的概念

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曲面的参数方程

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案例：

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曲纹坐标网

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曲面的切平面和法线

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曲面某点的切平面

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曲面某点的法线

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案例：

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曲面的第一基本形式

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案例：

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曲面域的面积

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曲面的第二基本形式

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上式表明第二基本形式近似地等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而它刻画了曲面离开切平面的弯曲程度，即刻画了曲面在空间中的弯曲性

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案例：

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曲面的特殊的参数表示情形

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案例：

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曲面上曲线的曲率

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由以上的讨论我们已经了解到曲面在已知点邻近的弯曲性可以由曲面离开它的切平面的快慢来决定.但是曲面在不同的方向弯曲的程度不同，也就是说在不同的方向曲面以不同的速度离开切平面.因此，当我们想刻画曲面在已知点邻近的弯曲性时，就需要用曲面上过该点的不同的曲线的曲率来进行研究.

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案例：

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Dupin指标线

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曲面的渐进方向

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曲面的共轭方向

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曲面的主方向和曲率线

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曲面的三个曲率

主曲率

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高斯曲率，平均曲率

高斯曲率和平均曲率

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案例

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曲面在一点邻近的结构

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1.椭圆点：

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2.双曲点：

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3.抛物点：

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曲面的第三基本形式

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高斯曲率的几何意义

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直纹面和可展曲面

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可展曲面

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曲面论的基本定理

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曲面的黎曼(Riemann)曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳尔迪(Gauss-Codazzi-Mainardi)公式

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案例：

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曲面论基本定理：

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曲面上的测地线【重要】

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曲面上的测地线：

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测地线是短程线

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高斯波涅公式Gauss-Bonnet公式【重要】

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推论：

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曲面上向量的平行移动

曲面上的向量及其平行移动

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平行移动的性质

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常高斯曲率的曲面

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案例：

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外微分形式和活动标架

格拉斯曼代数

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活动标架法

活动标架法是微分几何中研究空间图形的方法，它的特点是把图形的研究安排好一定的程序，然后有步骤地去分析图形的性质

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案例：

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用活动标架法研究曲面

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曲面的基本形式

曲面的第一基本形式：

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曲面的第二基本形式

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曲面的第三基本形式

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曲面上的曲线，法曲率，测地曲率，测地挠率

主曲率：

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平均曲率：

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高斯曲率：

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闭曲面的高斯-波涅公式【重要】

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特别地，如果区域G的边缘时测地线，则Kg=0

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测地多边形

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案例：

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总结

微分几何——梅向明第四版学习笔记（一） & 向量函数和曲线论

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    随着AIGC（如chatgpt、midjourney、claude等）大语言模型接二连三的涌现，AI辅助编程工具日益普及，程序员的工作方式正在发生深刻变革。有人担心AI可能取代部分编程工作，也有人认为AI是提高效率的得力助手。面对这一趋势,程序员应该如何应对?是专注于某个领域深耕细作，还是广泛学习以适应快速变化的技术环境?又或者，我们是否应该将重点转向AI无法轻易替代的软技能？让我们一起探讨程序员
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  • 阶段总结反思 轻争
    马上就要进入10月份了，今天做一下前段时间的总结和反思。前段时间，日更、英语、健身、护肤坚持的比较好。阅读、书法坚持的不好。1.中间被迫停更半个多月，其余时间一直在坚持日更挑战。偶尔也有不想写的时候，就做一下摘抄。因为阅读（输入）没跟上来，所以写作（输出）质量有待进一步加强。2.英语做到了一周至少学习5天，每次不少于30分钟，但是小班课没有跟上更新速度，下一步要争取利用零碎时间补听小班课。3.减肥
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    ARM驱动学习之5LEDS驱动知识点：•linuxGPIO申请函数和赋值函数–gpio_request–gpio_set_value•三星平台配置GPIO函数–s3c_gpio_cfgpin•GPIO配置输出模式的宏变量–S3C_GPIO_OUTPUT注意点：DRIVER_NAME和DEVICE_NAME匹配。实现步骤：1.加入需要的头文件：//Linux平台的gpio头文件#include//三
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    ARM驱动学习之4小结#include#include#include#include#include#defineDEVICE_NAME"hello_ctl123"MODULE_LICENSE("DualBSD/GPL");MODULE_AUTHOR("TOPEET");staticlonghello_ioctl(structfile*file,unsignedintcmd,unsignedlo
  • 展现思维导图魅力，不断挖掘人生宝藏 思维导图讲师Mandy
    第13期最强思维导图训练营已经结束一周了，但是我依旧是感觉所有学员还在努力的学习，这些学员中有教师、学生、白领、公务员、宝妈等等，只要你努力，只要你想改变自己，任何行业，任何岗位都可以参与进来，28天足以让你见成效，在这28天中，我们的学员不仅仅是收获了一枚毕业证，最重要的是让自己的思维方式得到升级，今天的你为自己投资，明天的你就会感谢你今天的付出，我们来听一听来自13期最强思维导图训练营优秀学员
  • 继之前的线程循环加到窗口中运行 3213213333332132 javathreadJFrameJPanel
    之前写了有关java线程的循环执行和结束，因为想制作成exe文件，想把执行的效果加到窗口上，所以就结合了JFrame和JPanel写了这个程序，这里直接贴出代码，在窗口上运行的效果下面有附图。 package thread; import java.awt.Graphics; import java.text.SimpleDateFormat; import java.util
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    1.grep 相信这个命令可以说是大家最常用的命令之一了。尤其是查询生产环境的日志，这个命令绝对是必不可少的。 但之前总是习惯于使用 （grep -n 关键字 文件名 ）查出关键字以及该关键字所在的行数，然后再用 （sed -n  '100,200p' 文件名），去查出该关键字之后的日志内容。 但其实还有更简便的办法，就是用（grep  -B n、-A n、-C n 关键
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    <!doctype html> <html lang="en"> <head> <meta charset="utf-8"> <title>Current To-Do List</title> </head> <body> <?
  • overflow的属性 周华华 JavaScript
    <!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd"> <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml&q
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            准备用一年左右时间写一个系列的文章《我所了解的Java》，目录及内容会不断完善及调整。         在编写相关内容时难免出现笔误、代码无法执行、名词理解错误等，请大家及时指出，我会第一时间更正。    &n
  • [简单]docx4j常用方法小结 53873039oycg docx
            本代码基于docx4j-3.2.0，在office word 2007上测试通过。代码如下:         import java.io.File; import java.io.FileInputStream; import ja
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    首先来看一个标准的Spring配置文件 applicationContext.xml <?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?> <beans xmlns="http://www.springframework.org/schema/beans" xmlns:xsi=&q
  • Java新手入门的30个基本概念三 aijuans java新手java 入门
    17.Java中的每一个类都是从Object类扩展而来的。　　18.object类中的equal和toString方法。　　equal用于测试一个对象是否同另一个对象相等。　　toString返回一个代表该对象的字符串,几乎每一个类都会重载该方法,以便返回当前状态的正确表示.(toString 方法是一个很重要的方法)　　 19.通用编程:任何类类型的所有值都可以同object类性的变量来代替。　
  • 《2008 IBM Rational 软件开发高峰论坛会议》小记 antonyup_2006 软件测试敏捷开发项目管理IBM活动
    我一直想写些总结,用于交流和备忘,然都没提笔,今以一篇参加活动的感受小记开个头,呵呵! 其实参加《2008 IBM Rational 软件开发高峰论坛会议》是9月4号,那天刚好调休.但接着项目颇为忙,所以今天在中秋佳节的假期里整理了下. 参加这次活动是一个朋友给的一个邀请书,才知道有这样的一个活动,虽然现在项目暂时没用到IBM的解决方案,但觉的参与这样一个活动可以拓宽下视野和相关知识.
  • PL/SQL的过程编程,异常,声明变量,PL/SQL块 百合不是茶 PL/SQL的过程编程异常PL/SQL块声明变量
    PL/SQL;    过程; 符号; 变量; PL/SQL块; 输出; 异常;     PL/SQL 是过程语言(Procedural Language)与结构化查询语言(SQL)结合而成的编程语言PL/SQL 是对 SQL 的扩展,sql的执行时每次都要写操作
  • Mockito(三)--完整功能介绍 bijian1013 持续集成mockito单元测试
            mockito官网：http://code.google.com/p/mockito/，打开documentation可以看到官方最新的文档资料。 一.使用mockito验证行为 //首先要import Mockito import static org.mockito.Mockito.*; //mo
  • 精通Oracle10编程SQL(8)使用复合数据类型 bijian1013 oracle数据库plsql
    /* *使用复合数据类型 */ --PL/SQL记录 --定义PL/SQL记录 --自定义PL/SQL记录 DECLARE TYPE emp_record_type IS RECORD( name emp.ename%TYPE, salary emp.sal%TYPE, dno emp.deptno%TYPE ); emp_
  • 【Linux常用命令一】grep命令 bit1129 Linux常用命令
    grep命令格式   grep [option] pattern [file-list]     grep命令用于在指定的文件(一个或者多个,file-list)中查找包含模式串(pattern)的行,[option]用于控制grep命令的查找方式。   pattern可以是普通字符串，也可以是正则表达式，当查找的字符串包含正则表达式字符或者特
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    MyBatis 的前身就是iBatis，是一个数据持久层(ORM)框架。  MyBatis 是支持普通 SQL 查询，存储过程和高级映射的优秀持久层框架。MyBatis对JDBC进行了一次很浅的封装。   以前也学过iBatis，因为MyBatis是iBatis的升级版本，最初以为改动应该不大，实际结果是MyBatis对配置文件进行了一些大的改动，使整个框架更加方便人性化。
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           lsof是系统管理/安全的尤伯工具。我大多数时候用它来从系统获得与网络连接相关的信息，但那只是这个强大而又鲜为人知的应用的第一步。将这个工具称之为lsof真实名副其实，因为它是指“列出打开文件（lists openfiles）”。而有一点要切记，在Unix中一切（包括网络套接口）都是文件。 有趣的是，lsof也是有着最多
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       对于股市，我们国家的监管还是有点拼的，但始终拼不过飞流直下的恐慌，为什么呢？    笔者首先支持股市的监管。对于股市越管越荡的现象，笔者认为首先是做空力量超过了股市自身的升力，并且对于跌停停牌重组的快速反应还没建立好，上市公司对于股价下跌没有很好的利好支撑。    我们来看美国和香港是怎么应对股灾的。美国是靠禁止重要股票做空，在
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  • 用Rapael做图表 tntxia rap
    function drawReport(paper,attr,data){          var width = attr.width;     var height = attr.height;          var max = 0;   &nbs
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    <!DOCTYPE html> <html> <head lang="zh-CN"> <meta charset="UTF-8"> <meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge">
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