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微分几何——梅向明第四版学习笔记（二） & 曲面论、外微分形式和活动标架

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目录

  • 引出
  • 曲面论
    • 曲面的概念
    • 曲面的切平面和法线
    • 曲面的第一基本形式
      • 曲面域的面积
    • 曲面的第二基本形式
      • 曲面上曲线的曲率
      • 曲面的渐进方向
      • 曲面的共轭方向
      • 曲面的主方向和曲率线
    • 曲面的三个曲率
      • 主曲率
      • 高斯曲率，平均曲率
      • 案例
    • 曲面在一点邻近的结构
    • 曲面的第三基本形式
      • 高斯曲率的几何意义
    • 直纹面和可展曲面
      • 曲面论的基本定理
    • 曲面上的测地线【重要】
    • 高斯波涅公式Gauss-Bonnet公式【重要】
    • 曲面上向量的平行移动
    • 常高斯曲率的曲面
  • 外微分形式和活动标架
    • 格拉斯曼代数
    • 活动标架法
      • 用活动标架法研究曲面
    • 曲面的基本形式
    • 曲面上的曲线，法曲率，测地曲率，测地挠率
    • 闭曲面的高斯-波涅公式【重要】
      • 测地多边形
  • 总结

引出

微分几何——梅向明第四版学习笔记（一） & 向量函数和曲线论

曲面论

曲面的概念

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曲面的参数方程

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案例：

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曲纹坐标网

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曲面的切平面和法线

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曲面某点的切平面

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曲面某点的法线

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案例：

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曲面的第一基本形式

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案例：

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曲面域的面积

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曲面的第二基本形式

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上式表明第二基本形式近似地等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而它刻画了曲面离开切平面的弯曲程度，即刻画了曲面在空间中的弯曲性

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案例：

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曲面的特殊的参数表示情形

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案例：

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曲面上曲线的曲率

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由以上的讨论我们已经了解到曲面在已知点邻近的弯曲性可以由曲面离开它的切平面的快慢来决定.但是曲面在不同的方向弯曲的程度不同，也就是说在不同的方向曲面以不同的速度离开切平面.因此，当我们想刻画曲面在已知点邻近的弯曲性时，就需要用曲面上过该点的不同的曲线的曲率来进行研究.

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案例：

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Dupin指标线

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曲面的渐进方向

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曲面的共轭方向

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曲面的主方向和曲率线

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曲面的三个曲率

主曲率

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高斯曲率，平均曲率

高斯曲率和平均曲率

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案例

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曲面在一点邻近的结构

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1.椭圆点：

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2.双曲点：

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3.抛物点：

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曲面的第三基本形式

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高斯曲率的几何意义

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直纹面和可展曲面

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可展曲面

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曲面论的基本定理

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曲面的黎曼(Riemann)曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳尔迪(Gauss-Codazzi-Mainardi)公式

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案例：

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曲面论基本定理：

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曲面上的测地线【重要】

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曲面上的测地线：

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测地线是短程线

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高斯波涅公式Gauss-Bonnet公式【重要】

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推论：

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曲面上向量的平行移动

曲面上的向量及其平行移动

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平行移动的性质

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常高斯曲率的曲面

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案例：

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外微分形式和活动标架

格拉斯曼代数

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活动标架法

活动标架法是微分几何中研究空间图形的方法，它的特点是把图形的研究安排好一定的程序，然后有步骤地去分析图形的性质

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案例：

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用活动标架法研究曲面

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曲面的基本形式

曲面的第一基本形式：

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曲面的第二基本形式

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曲面的第三基本形式

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曲面上的曲线，法曲率，测地曲率，测地挠率

主曲率：

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平均曲率：

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高斯曲率：

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闭曲面的高斯-波涅公式【重要】

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特别地，如果区域G的边缘时测地线，则Kg=0

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测地多边形

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案例：

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总结

微分几何——梅向明第四版学习笔记（一） & 向量函数和曲线论

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    我一直想写些总结,用于交流和备忘,然都没提笔,今以一篇参加活动的感受小记开个头,呵呵! 其实参加《2008 IBM Rational 软件开发高峰论坛会议》是9月4号,那天刚好调休.但接着项目颇为忙,所以今天在中秋佳节的假期里整理了下. 参加这次活动是一个朋友给的一个邀请书,才知道有这样的一个活动,虽然现在项目暂时没用到IBM的解决方案,但觉的参与这样一个活动可以拓宽下视野和相关知识.
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    MyBatis 的前身就是iBatis，是一个数据持久层(ORM)框架。  MyBatis 是支持普通 SQL 查询，存储过程和高级映射的优秀持久层框架。MyBatis对JDBC进行了一次很浅的封装。   以前也学过iBatis，因为MyBatis是iBatis的升级版本，最初以为改动应该不大，实际结果是MyBatis对配置文件进行了一些大的改动，使整个框架更加方便人性化。
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