机器学习 - 代价函数
场景
上次简单学习了支持向量机的概念。概念如下：
支持向量机（SVM）：SVM是一种监督学习算法，常用于分类问题。它的目标是找到一个超平面（在二维空间中是一条线，在更高维空间中是一个面），这个超平面能够最好地分隔不同类别的数据点。SVM的核心思想是最大化不同类别数据点之间的边距。
经常与其一起被提到的是 代价函数，其概念如下：
代价函数：在机器学习中，代价函数（或损失函数）是衡量模型预测值与实际值之间差异的一个函数。它是一个用来量化模型预测错误程度的指标。在训练过程中，机器学习算法通过最小化这个函数来调整模型参数，从而改善模型的预测性能。
初识代价函数
案例
我们要预测上海房价与房子面积的关系，我们可以使用线性回归模型。线性回归是一种用于预测连续数值输出的算法，特别适合于预测两个变量之间的线性关系。在这种情况下，我们将房子面积作为自变量（特征），房价作为因变量（目标）。
设： y = c1 + c2X
我们先生成一些基本数据图：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 设置随机种子
np.random.seed(42)
# 定义系数 c1 和 c2
c1 = 100 # 基础房价
c2 = 0.8 # 每平方米增加的房价
# 生成房子面积的数据（40到200平方米之间）
X = np.random.uniform(40, 200, 100)
# 计算房价，加入随机噪声模拟实际情况
noise = np.random.randn(100) * 20 # 加入的噪声
y = c1 + c2 * X + noise
# 绘制数据点
plt.scatter(X, y)
plt.title('Simulated Shanghai House Prices')
plt.xlabel('Area (sqm)')
plt.ylabel('Price (10K RMB)')
# plt.grid(True)
plt.show()
得图：
通过这个图片，我们看到有很多点，我们可以假设几个趋势来预测房价和面积的关系
我们画了三条线，第一个（绿色的线）是 y = 140 其中c1 是140 c2是0，是一个常量；第二个（红色的线）是y = x，其中c1是0 ，c2是1 ;第三个（蓝色的线）是y=0.5x ，其中c1是0，c2是0.5
我们要做的是选择一条最贴近于房价趋势的线，我们可以采用均方误差（Mean Squared Error, MSE）来衡量模型预测值与实际值之间的差异。
我们在这个图中假设取出三个点，如下：
，我们以这三个点为例
其中 a(100,100)，b(200,190)，c(300.300)
其中针对绿色得线，计算：
计算每个差异的平方：
(140 - 100)^2 = 40^2 = 1600
(190 - 140)^2 = 50^2 = 2500
(300 - 140)^2 = 160^2 = 25600
计算这些平方差的平均值：
MSE = (1600 + 2500 + 25600) / 6
MSE = 28800 / 6
MSE = 4950
同理：
红色得线是
(100- 100)^2 = 0^2 = 0
(190 - 200)^2 = 10^2 = 100
(300 - 300 )^2 = 0^2 = 0
100 / 6 = 16.6
蓝色得线是
(50- 100)^2 = 50^2 = 2500
(190 - 100)^2 = 90^2 = 8100
(300 - 150)^2 = 150^2 = 22500
33100 / 6 = 5516
通过这个标准均方误差（MSE）结果，我们可以知道，红色得线是最接近我们得预测得，绿色次之，蓝色再次之，误方差越大，预测越不准，反之同理。
代价模型
代价模型的详细概念
定义：代价函数是一个衡量模型预测值与真实值差距的函数。它是模型参数的函数，用于评估模型的表现。在监督学习中，代价函数计算了模型预测值与实际标签之间的差异。
目的：代价函数的主要目的是指导模型学习过程。通过最小化代价函数，模型学习调整其参数，从而使预测值尽可能接近实际值。
应用：在训练过程中，算法不断调整参数，以最小化代价函数的值。这个过程通常使用优化算法，如梯度下降。
常见的代价函数：
均方误差 (MSE)：在回归问题中常用，计算预测值与实际值之差的平方的平均值。
交叉熵损失 (Cross-Entropy)：常用于分类问题，特别是二分类和多分类问题。
绝对值误差：另一种回归问题中的损失函数，计算预测值与实际值之差的绝对值的平均。
用途
模型优化：代价函数是模型训练的引导者，它指示了模型应该如何调整其参数以改善性能。
模型评估：在训练和测试过程中，代价函数可以用来评估模型的性能。
优缺点
优点
提供了一个明确的目标以进行模型优化。
可以通过不同的代价函数适应不同类型的问题，如回归、分类等。
有助于理解模型的性能和错误。
缺点
某些代价函数可能导致局部最小值的问题，使得优化过程陷入局部最优而非全局最优。
对异常值敏感，特别是像均方误差这样的代价函数。
在不平衡的数据集上，某些代价函数（如交叉熵）可能不会提供最佳的性能指标。
结束
这一章，我们用房价预测得案例入门了支持向量机中常用得代价模型，下一章会学习一下梯度下降函数。