高中奥数 2021-12-13

2021-12-13-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 单位根及其应用 P051 例4）

设,求证:

(1);

(2).

分析与解

方程的个单位根是

注意到从而有

于是,由

得

即有

(1)

(1)在(1)式中,令,立得

(2)对(2)式的两边取模,并注意到

立得

即有

证毕.

2021-12-13-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 单位根及其应用 P052 例5）

试求一切有序正整数对,使得被整除.

分析与解

显然,.

当时,设是的一个根,则,,于是

从而有.

由,知.

由,可知的实部为,则.

或是的所有根,从而有

若,考虑上面等式两边含的项的系数,便有,考虑实部即有,产生矛盾.

若,令,.由,得,.

故知或,是正整数.

2021-12-13-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 单位根及其应用 P053 例6）

有个男孩与个女孩围坐在一个圆周上,将顺序相邻的3人中恰有1个男孩的组数记作,顺序相邻的3人中恰有1个女孩的组数记作,求证:是3的倍数.

分析与解

用表示小孩,且将赋值为

其中,,并且

从而得

故是3的倍数,证毕.