2021-12-13-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 单位根及其应用 P051 例4）
设,求证:
(1);
(2).
分析与解
方程的个单位根是
注意到从而有
于是,由
得
即有
(1)
(1)在(1)式中,令,立得
(2)对(2)式的两边取模,并注意到
立得
即有
证毕.
2021-12-13-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 单位根及其应用 P052 例5）
试求一切有序正整数对,使得被整除.
分析与解
显然,.
当时,设是的一个根,则,,于是
从而有.
由,知.
由,可知的实部为,则.
或是的所有根,从而有
若,考虑上面等式两边含的项的系数,便有,考虑实部即有,产生矛盾.
若,令,.由,得,.
故知或,是正整数.
2021-12-13-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 单位根及其应用 P053 例6）
有个男孩与个女孩围坐在一个圆周上,将顺序相邻的3人中恰有1个男孩的组数记作,顺序相邻的3人中恰有1个女孩的组数记作,求证:是3的倍数.
分析与解
用表示小孩,且将赋值为
其中,,并且
从而得
故是3的倍数,证毕.