CCF-CSP 202209-2 何以包邮？

题目要求

‍⬛题目描述

新学期伊始，适逢顿顿书城有购书满 $x$ 元包邮的活动，小 P 同学欣然前往准备买些参考书。
一番浏览后，小 P 初步筛选出 $n$ 本书加入购物车中，其中第 $i$ 本 $(1\le i\le n)$ 的价格为 $a_i$ 元。
考虑到预算有限，在最终付款前小 P 决定再从购物车中删去几本书（也可以不删），使得剩余图书的价格总和 $m$ 在满足包邮条件 $(m\le x)$ 的前提下最小。

试帮助小 P 计算，最终选购哪些书可以在凑够 $x$ 元包邮的前提下花费最小？

‍⬛输入格式

从标准输入读入数据。

输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 $n$ 和 $x$，分别表示购物车中图书数量和包邮条件。

接下来输入 $n$ 行，其中第 $i$ 行 $(1\le i\le n)$ 仅包含一个正整数 $a_i$，表示购物车中第 $i$ 本书的价格。输入数据保证 $n$ 本书的价格总和不小于 $x$。

‍⬛输出格式

输出到标准输出。

仅输出一个正整数，表示在满足包邮条件下的最小花费。

‍⬛样例说明

样例1输入

4 100
20
90
60
60

样例1输出

110

样例1解释

购买前两本书 $(20+90)$ 即可包邮且花费最小。

样例2输入

3 30
15
40
30

样例2输出

30

样例2解释

仅购买第三本书恰好可以满足包邮条件。

样例3输入

2 90
50
50

样例3输出

100

样例3解释

必须全部购买才能包邮。

‍⬛子任务

70% 的测试数据满足：$n\le 15$；
全部的测试数据满足：$n\le 30$，每本书的价格 $a_i\le 10^4$ 且 $x\le a_1+a_2+\cdot \cdot \cdot +a_n$。

‍⬛提示

对于 70% 的测试数据，直接枚举所有可能的情况即可。

问题解决

满分代码（含逐行代码解释）

C++

#include
using namespace std;

int main(){
	int n, x;
	cin >> n >> x;
	vector<int>a(31); //每本书的价格
	int sum = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		cin >> a[i];
		sum += a[i];
	}
	int temp;
	temp = sum -x; //需要选出的书籍的价格总和
	int dp[31][100001]; //这是一个动态规划的问题
	for(int i = 1; i <= n; i++){ //外层循环遍历每本书
		for(int j = 1; j <= temp; j++){ //内层循环遍历总价值不超过temp的情况
			/*
				对于每个状态dp[i][j]，有两种选择：选取第i本书或不选取
				如果不选取第i本书，则dp[i][j] = dp[i-1][j]；
				如果选择第i本书，则dp[i][j] = dp[i-1][j-a[i]]+a[i]，取两者之间的最大值。
			*/
			dp[i][j] = dp[i-1][j];
			if(j >= a[i]){
				dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-a[i]]+a[i]);
				//dp[i][j]表示在前i本书中选取总价不超过j的最大价格
			}
		}
	}
	int result = 0;
	result = sum - dp[n][temp]; //计计算选出的书籍的价格总和，并将其减去所有书籍的价格总和
	cout << result <<endl;
	return 0;
} 

场景拓展

本题代码属于动态规划算法的题型。具体而言，这个问题可以称为「01背包问题」的变种。在「01背包问题」中，我们有一组物品，每个物品都有自己的重量和价值，目标是选择一些物品装入背包，使得背包的总重量不超过限制，并且价值最大化。而这个问题中，我们需要选择一些书籍的价格，使得总价格不超过限制，并且尽量高。

• 0-1背包问题：给出一组物品的重量和价值，选择一些物品装入背包，使得背包的总重量不超过限制，而总价值最大化。
• 完全背包问题：与0-1背包类似，但每种物品可以选择无限次放入背包。
• 多重背包问题：与0-1背包类似，但每种物品有限定的可选次数。
• 分组背包问题：将物品分为若干组，每组物品只能选择一个，目标是选择一些物品使得背包的总重量不超过限制，而总价值最大化。
• 背包问题的变种：如带有约束条件、特殊要求或者多个限制条件的背包问题。