最大子段和（3e3）题解

【题解提供者】刘枭

解法一

思路

我们可以枚举所有的区间，比较他们的和大小。

代码部分

#include 
using namespace std;
#define ll long long 

int n,t,a[3001],ans=-2e9;

int main()
{ 
  cin>>n;
  for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
  for(int i=1;i<=n;i++){//枚举区间的左端点
    for(int j=i;j<=n;j++){//枚举区间的右端点
      int tem=0;
      for(int k=i;k<=j;k++){
      tem+=a[k];
      }
      ans=max(ans,tem);//更新答案
    }
  }
  cout<<ans<<'\n';
  return 0;
}

算法分析

这是最朴素的暴力算法，总共有三重循环,前两重循环枚举了所有区间，第三重循环对区间进行求和。我们来分析这个算法的时间复杂度，设区间长度为 $len$，长度为 $len$ 的区间有 $num(len)$ 个，那么序列中最靠右的长度为 $len$ 的区间的左端点位于 $n-len+1$，而包括这个点往左的所有点都可以作为长度为 $len$ 的区间的左端点，所以 $num(len)=n-len+1$。

因此整个算法的运行次数为：
$A.{\sum }_{len=1}^n(num(len)\times len)=n\times 1+(n-1)\times 2+...+1\times n;$

现在我们构造一个新的式子：
$B.(n+1)\times {\sum }_{i=1}^{n}i=n\times (n+1)+(n-1)\times (n+1)+...+1\times (n+1);$

用 $B$ 式减去 $A$ 式可得：
$B-A=n^2+(n-1{)}^2+...+1^2=\frac{n\times (n+1)\times (2n+1)}{6};$
(上面用了平方和公式，对于该公式的推导将会在本分析的末尾展示）

所以有：
$A=B-\frac{n\times (n+1)\times (2n+1)}{6};$

对 $B$ 式使用等差数列求和公式化简：
$A=\frac{n\times (n+1{)}^2}{2}-\frac{n\times (n+1)\times (2n+1)}{6}=\frac{n\times (n+1)\times (n+2)}{6};$

根据 bigO 表示法，这个算法的时间复杂度是 $O(n^3)$ 级别的。所以在本题的极限数据下，其所需的计算次数达到了惊人的 $2.7\times 10^{10}$，而程序在 OJ 中每秒大概只能进行 $2\times 10^8$ 次基础运算，所以上述算法在本题会超时。（优化见解法二）

平方和公式推导

我们构造一系列式子：
$2^3-1^3=3\times 1^2+3\times 1+1;$
$3^3-2^3=3\times 2^2+3\times 2+1;$
$4^3-3^3=3\times 3^2+3\times 3+1;$
$...$
$(n+1{)}^3-n^3=3\times n^2+3\times n+1;$

将上述式子累加可得：
$(n+1{)}^3-1^3=3\times {\sum }_{i=1}^n{i}^2+3\times \frac{n\times (1+n)}{2}+1;$

移项得：
${\sum }_{i=1}^n{i}^2=\frac{1}{3}((n+1{)}^3-1^3-3\times \frac{n\times (n+1)}{2}-n)=\frac{n\times (n+1)(2n+1)}{6};$

推导完成。

解法二

思路

解法一中对于区间的求和每次都遍历了整个区间，而一些区间之间有重叠的子区间，显然我们对某些区域进行了很多重复计数。具体的我们来看第二重循环枚举的区间 ：
$[i,i],[i,i+1],[i,i+2],...,[i,n];$

不难发现对于以 $i$ 为左端点的区间的枚举是连续的，除了 $[i,i]$，每个区间 $[i,j]$ 的和都是由上一个枚举的区间 $[i,j-1]$ 的和加上 $a_j$ 得到的。所以我们无需对所有区间都遍历求和，只要用一个临时变量 $tem$ ，每次枚举右端点 $j$ 时就加上 $a_j$ 就得到了区间 $[i,j]$ 的和。

代码部分

#include 
using namespace std;
#define ll long long 

int n,t,a[3001],ans=-2e9;

int main()
{ 
  cin>>n;
  for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
  for(int i=1;i<=n;i++){//枚举区间的左端点
    int tem=0;
    for(int j=i;j<=n;j++){//枚举区间的右端点
      tem+=a[j];
      ans=max(ans,tem);//更新答案
    }
  }
  cout<<ans<<'\n';
  return 0;
}

算法分析

我们优化了单个区间求和的复杂度，每个区间的求和花费都是 $O(1)$ 的，所以这个解法的复杂度等于区间个数：
${\sum }_{len=1}^{n}num(len)=n+(n+1)+...+1=\frac{n\times (n+1)}{2};$

因此，这个算法的复杂度是 $O(n^2)$ 的。