计算区间和_题解

【题解提供者】吴立强

解法【1】

思路

直接统计每次询问的答案 ${\sum }_{i=l_i}^{r_i}{A}_i$ 即可。

代码展示

#include 
using namespace std;

const int N = 1009;
int a[N];

int main() {
  int n;  cin >> n;
  for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
  int m;  cin >> m;
  while(m --) {
    int l, r;  cin >> l >> r;
    int sum = 0;
    for(int i = l; i <= r; i ++) sum += a[i];
    cout << sum << endl;
  }
  return 0;
}

算法分析

不难发现，上述程序的循环内所需运行次数为 $n+{\sum }_{i=1}^m(r_i-l_i+1)$，在极限数据（所有查询都是从 1 到 n）其级别为 $O(n\times m)$ 可以通过 1000 的数据，而在 $2\times 10^5$ 的数据下会 TLE。

解法【2】

思路

定义 $su{m}_i$ 为数组中前 $i$ 个元素的和。

那么有 $su{m}_i=su{m}_{i-1}+A_i$，特别的，$su{m}_0=0$。

通过线性时间处理出上述数据后，有：${\sum }_{i=l_i}^{r_i}{A}_i=su{m}_{r_i}-su{m}_{l_i-1}$。

代码展示

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;  /// 类型定义（用 ll 来代替了 long long 的功能）

const int N = 200009;
int a[N];
ll sum[N];  /// 极限数据下 sum[n] 可以达到 2e10 的级别超出 int 的表达范围

int main() {
  int n;  cin >> n;
  for(int i = 1; i <= n; i ++) {
  	cin >> a[i];
  	sum[i] = sum[i - 1] + a[i];  /// 预处理，由于是全局数组，故存在 sum[0]=0
  }
  int m;  cin >> m;
  while(m --) {
    int l, r;  cin >> l >> r;
    cout << sum[r] - sum[l - 1] << endl;  /// O(1) 回答
  }
  return 0;
}

算法分析

程序时间复杂度为 $O(n+m)$，可以通过 $2\times 10^5$ 的数据。

算法拓展

上述算法为【前缀和】算法，其可以将区间和查询从区间长度优化至两次单点查询。

这揭示了一种解题思想：区间个数是 $O(n^2)$ 级别的，但是利用【前缀】这个信息可以快速维护出区间的信息，更重要的是【前缀】只有 $n+1$ 个（还有一个空前缀），且前缀之间存在递推关系，故通过 $O(n)$ 级别的预处理后就可以加速区间查询的速度。