【C++数据结构 | 二叉树速通】10分钟掌握基础二叉树定义 | 2分钟上手三种遍历方法 | 3分钟秒杀线索化

二叉树

by.Qin3Yu

二叉树 的本质是 结构体 ，因此阅读本文需要读者先掌握结构体基础内容，关于结构体的相关内容可以参考我的往期博客：
【C++数据结构 | 结构体速通】5分钟掌握基础自定义数据类型 | 15分钟精通结构体进阶操作方法.by.Qin3Yu

文中所有代码默认已使用std命名空间：

using namespace std;

---

概念速览

什么是二叉树？

• 二叉树是一种常见的树状数据结构，它由节点组成，每个节点最多有两个子节点：一个左子节点和一个右子节点。二叉树可以为空，也可以只有一个根节点。每个节点都包含一个值，并且通过指针或引用与其子节点相连。

二叉树具有以下特点：

1. 每个节点最多有两个子节点,一个子节点都没有的节点称为叶子节点。
2. 左子节点和右子节点不能交换。
3. 二叉树的形状可以各不相同，具体取决于节点的插入顺序。

• 二叉树有多种常见的变种，包括满二叉树、完全二叉树和平衡二叉树等。它们在节点的插入和删除操作上有着不同的性质和限制。二叉树具有广泛的应用。它们常用于实现搜索和排序算法，如二叉搜索树和堆数据结构。此外，许多树状数据结构，如红黑树和B树，都可以被看作是二叉树的扩展或变种。

二叉树相比于其他数据结构具有以下优劣势：

优势：

1. 快速查找：二叉搜索树是一种常见的二叉树变种，具有快速的搜索和查找能力。
2. 有序存储：二叉搜索树按照一定的规则进行排序，因此可以方便地实现对元素的有序存储和遍历操作。
3. 快速操作：在平均情况下，插入和删除一个元素的时间复杂度是O(log n)。

缺点：

1. 性能退化：当二叉树变得不平衡时，二叉树可能会退化成链表，导致性能下降。
2. 高维数据：二叉树不适用于高维数据，例如二维或多维数组，可能无法有效地表示和操作。

基本二叉树的变种

基本二叉树还具有很多用途不同的变种，例如：

• 完全二叉树： 二叉树除最后一层外所有节点均有左右两个子节点，且最后一层的节点从左向右紧密排列。

• 满二叉树： 二叉树除最后一层外所有节点均有左右两个子节点，且最后一层的节点数量达到最大值。

• 斜树： 二叉树所有节点只有左（右）子树。

• 平衡二叉树： 左右子树的高度差不超过 1 。

• 二叉搜索树： 左子树上所有节点的值都小于根节点的值，右子树上所有节点的值都大于根节点的值。

• 此处仅作部分列举，此外还有很多二叉树的变种。

---

基础二叉树操作

1. 创建二叉树

• 创建一棵二叉树，实际上就是创建多个节点，然后再将它们以特定形式连接起来。所以，我们在创建树节点时只关心他的三个属性：节点值 （value） 、左子节点 （LeftNode / LN） 和右子节点 （RightNode / RN） ：

struct Node  //树节点
{
    int value;  //节点值
    struct Node* LN;  //左子节点
    struct Node* RN;  //右子节点
    Node(int x) : value(x), LN(nullptr), RN(nullptr) {}  //构造函数
};

• 然后我们再依次实例化出五个树节点：

Node* N1 = new Node(1);
Node* N2 = new Node(2);
Node* N3 = new Node(3);
Node* N4 = new Node(4);
Node* N5 = new Node(5);

• 最后，我们再修改各个节点的左右子节点属性，将树节点按需相连：

N1 -> LN = N2;  //N1的左子节点为N2
N1 -> RN = N3;  //N1的右子节点为N3
N2 -> LN = N4;  //N2的左子节点为N4
N2 -> RN = N5;  //N2的右子节点为N5

• 这样，就建立了一棵最基本的二叉树。

2. 前中后序遍历二叉树

• 前序遍历、中序遍历、后序遍历都是遍历二叉树的常用方式，原理都是依次访问所有树节点，但是它们对于二叉树的访问方式并不相同。相对于根节点来说，前序、中序、后序遍历的访问顺序可以用下图表示：

• 那么，对于上图这棵简单的二叉树，我们可以得出以下遍历结果：

遍历方法	遍历顺序	遍历结果
前序遍历	根左右	ABC
中序遍历	左根右	BAC
后序遍历	左右根	BCA

• 不难看出，前中后分别代表了根节点的访问顺序，其次，左子节点先，右子节点后。但是在大多情况下，我们遍历的二叉树都是更复杂的情况，很可能主节点的左右方几乎都有子树：

• 对于这种复杂的二叉树，我们依然使用相同的方法，我们以前序遍历为例，首先，我们访问根节点A，然后我们访问他的左节点，可以看出，A 的左节点也是一棵二叉树：

• 因此，对于这棵二叉树，我们仍然用根左右的顺序遍历，首先访问根节点B，然后访问他的左节点，B的左节点仍然是棵二叉树：

• 因此，对于这棵二叉树，我们继续用根左右的顺序遍历，首先访问根节点D，然后访问他的左节点G，最后访问他的右节点H：

• 至此，B的左子树已经被遍历完，根据根左右的顺序遍历，我们再访问E节点，至此，A的左子树便被访问完了，我们再根据相同的逻辑访问A的右子树，便可获得最终的便利结果，这里我将遍历结果给出，读者可以试着自己遍历后与我的结果对照：

遍历方法	遍历顺序	遍历结果
前序遍历	根左右	ABDGHECFI
中序遍历	左根右	GDHBEACIF
后序遍历	左右根	GHDEBIFCA

• 知道了前中后序的便利逻辑，我们便能很轻松的写出代码，具体而言，我们用递归的方式完成遍历。为符合国人的阅读习惯，我们使用拼音作为函数名 （绝对不是因为我不懂英语呜呜呜） ：

在下面的代码中，我们使用 N 表示树的根节点

前序遍历：

void QianXu(Node* N) {
    if (N == nullptr) return;
    cout << N->value << " "; // 先输出根节点的值
    QianXu(N->LN); // 递归遍历左子树
    QianXu(N->RN); // 递归遍历右子树
}

中序遍历：

void ZhongXu(TreeNode* N) {
    if (N == nullptr) return;
    ZhongXu(N->LN); // 递归遍历左子树
    cout << N->value << " "; // 输出根节点的值
    ZhongXu(N->RN); // 递归遍历右子树
}

后序遍历：

void HouXu(TreeNode* N) {
    if (N == nullptr) return;
    HouXu(N->LN); // 递归遍历左子树
    HouXu(N->RN); // 递归遍历右子树
    cout << N->value << " "; // 输出根节点的值
}

3. 线索二叉树

什么是线索二叉树？

• 在普通的二叉树中，要进行中序遍历时需要使用递归或栈来保存遍历的顺序，并且需要访问左子树和右子树之间的指针。而线索二叉树通过扩展二叉树节点的指针，将原本为空的指针指向该节点在中序遍历中的前驱和后继节点，从而实现对二叉树的线索化。

• 线索二叉树是在二叉树的基础上做了优化的数据结构。它的目的是在不增加额外空间的情况下，方便对二叉树进行遍历操作。线索二叉树的意义在于提高了对二叉树的遍历效率，尤其是中序遍历。不需要借助额外的空间和递归调用，可以直接找到节点的前驱和后继节点，实现快速遍历。此外，线索二叉树可以支持双向遍历，即可以通过前驱节点或后继节点反向遍历二叉树。

如何画出线索二叉树？

• 将普通的二叉树线索化，即成为线索二叉树。要将普通二叉树线索化，需要先写出其的遍历顺序（前中后序均可）。以下图的二叉树为例，他的前序遍历顺序是ABDECF，然后，我们需要记住以下口诀：无左找前，无右找后。

• 然后我们依次看每个节点是否有左右子节点，如果没有左子节点，则将此节点指向遍历顺序中的前一个节点，称为 “前驱” 。如果没有右子节点，则将此节点指向遍历顺序中的后一个节点，称为 后继。
• 如下图所示，比如节点 A 有左右节点，则不用指。节点 D 没有左节点，所以要指向遍历顺序中的前一个节点 B ，同时它也没有右节点，所以还要指向遍历顺序中的后一个节点 E ，其他节点依次类推：

ps.如果在遍历顺序中没有前驱后继可指，则指向 空地址(nullptr) 即可。

• 最后整理一下线条可空地址，可以得到下图，下图则为被线索化的二叉树：

具体代码实现

• 以下代码可能较长且难以理解，如果您是学生，那么在一般的高校考试中不会考线索化的具体代码实现，您可以选择性阅读：

// 定义线索二叉树的节点结构体
struct Node {
    int val;
    bool LN;  // 左指针是否为线索
    bool RN;  // 右指针是否为线索
    struct Node *left;
    struct Node *right;
    Node(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr), LN(false), RN(false) {}
};
// 对二叉树进行中序遍历，输出每个节点的值
void ZhongXu(Node *N) {
    if (!N) return;
    // 找到中序遍历的第一个节点
    Node *p = N;
    while (p->left) p = p->left;
    // 循环输出每个节点的值
    while (p) {
        cout << p->val << " ";
        if (p->RN) {
            p = p->right;
        } else {
            p = p->right;
            while (p && !p->LN) p = p->left;
        }
    }
}
// 将二叉树进行线索化
void XianSuoHua(Node *N) {
    if (!N) return;
    Node *prev = nullptr;
    // 对左子树进行线索化
    XianSuoHua(N->left);
    // 处理当前节点
    if (!N->left) {
        N->left = prev;
        N->LN = true;
    }
    if (prev && !prev->right) {
        prev->right = N;
        prev->RN = true;
    }
    prev = N;
    // 对右子树进行线索化
    XianSuoHua(N->right);
}

至此二叉树基础操作已讲解完毕（=

二叉树的进阶内容如哈夫曼树、最小生成树、红黑树由于篇幅较长，后续将在“算法详解”板块介绍，本文只做二叉树的基本内容讲解。

如需提问，可以在评论区留言或私信，通常在12小时内回复，免费用爱发电（=

感谢您的观看（=