【高阶数据结构】红黑树

目录

1.红黑树的概念

2.红黑树的性质

3.红黑树的定义

4.红黑树的插入操作

1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点

2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏

5.红黑树的验证

6 红黑树与AVL树的比较

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1.红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

2.红黑树的性质

1. 每个结点不是红色就是黑色
2. 根节点是黑色的
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均 包含相同数目的黑色结点
5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

3.红黑树的定义

enum Color //枚举类型
{
	RED,
	BLACK 
};

template
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode* _left;
	RBTreeNode* _right;
	RBTreeNode* _parent;
	pair _kv;
	Color _col;

	RBTreeNode(const pair& kv = pair())
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_col(RED)
	{
	}
};

思考：在节点的定义中，为什么要将节点的默认颜色给成红色的？

4.红黑树的插入操作

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点

bool Insert(const pair kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;
		cur->_parent = parent;
		//优先插入红色节点，因为黑色节点要求每条路径上都相同，插入黑色会影响全局
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
        
        //判断是否插入成功
        //不符合红黑树性质需要调整
    }

2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏

因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：

约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

注意：此处所看到的树，可能是一棵完整的树，也可能是一棵子树

如果g是根节点，调整完成功后，需要将g改为黑色

如果g是子树，g一定有双亲，且g的双亲如果是红色，需要继续向上调整

解决方式：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。

情况二：cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

说明: u的情况有两种

1. 如果u节点不存在，则cur一定是新插入节点，因为如果cur不是新插入节点，则cur和p一定有一个节点的颜色是黑色，就不满足性质4:每条路径黑色节点个数相同。
2. 如果u节点存在，则其一定是黑色的，那么cur节点原来的颜色一定是黑色的，现在看到其是红色的原因是因为cur的子树在调整的过程中将cur节点的颜色由黑色改成红色。

旋转

• p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转;
• 相反，p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转p、g变色--p变黑，g变红

情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

• p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋，再对g做右单旋。
• 相反，p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋，再对g做左单旋。

针对每种代码处理的代码：

        //插入红色，如果父亲是黑色，插入成功

		//父亲是红色，那么存在连续的红色，违反规则，需要处理
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			//关键看叔叔 uncle 
			//cur红 parent红 grandfather黑 三个颜色是固定的
			//    g
			//  f   u
			// c

			//parent红色，一定不是根，有父亲
			Node* grandfather = parent->_parent;
			if (parent == grandfather->_left)
			{
				//    g
				//  f   u
				// c
				Node* uncle = grandfather->_right;
				if (uncle && uncle->_col == RED)//变色
				{
					uncle->_col = parent->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					//继续往上处理
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
					//if (parent == nullptr)
					//{
					//	grandfather->_col = BLACK;//是根节点，这里放在了最后处理
					//	break;
					//}
				}
				else //uncle不存在（新插入的是cur），或为黑（cur是调整上来的）
				{
					if (cur == parent->_left)//右单旋
					{
						RotateR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else //左右双旋
					{
						//   g
						// p     c
						//   c
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						grandfather->_col = RED;
						cur->_col = BLACK;
						
					}
					break;
				}
			}
			else
			{
				Node* uncle = grandfather->_left;
				//   g
				// u   f
				//       c
				if (uncle && uncle->_col == RED)//变色
				{
					uncle->_col = parent->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					//继续往上处理
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else //uncle不存在（新插入的是cur），或为黑（cur是调整上来的）
				{
					if (cur == parent->_right)//左单旋
					{
						RotateL(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else //右左双旋
					{
						//   g
						// u   p
						//    c
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);
						cur->_col = BLACK; 
						grandfather->_col = RED;
						
					}
					break;
					
				}
			}
		}

		_root->_col = BLACK;
		return true;

5.红黑树的验证

红黑树的检测分为两部分，检测其是否满足红黑树的性质：

1. 判断每条路径黑色节点是狗相同
2. 判断是否存在连续的红色节点

bool Check(Node* root, int blacknum, const int refVal)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			if (refVal != blacknum)
			{
				cout << "黑色节点不相同的路径" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}

		//检查红色节点的父亲
		if (root->_parent && (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED))
		{
			cout << "有连续红色节点" << endl;
			return false;
		}

		if (root->_col == BLACK)
		{
			blacknum++;
		}

		return Check(root->_left, blacknum, refVal) && Check(root->_right, blacknum, refVal);
	}


	bool IsBalance()
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			return true;
		}
		if (_root->_col == RED)
		{
			return false;
		}

		int refVal = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == BLACK)
			{
				refVal++;
			}
			cur = cur->_left;
		}

		int blacknum = 0;
		return Check(_root, blacknum, refVal);
	}

6 红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O($log_2 N$)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

本篇结束！