#10019. 「一本通 1.3 例 2」生日蛋糕

【题目描述】

Mr.W 要制作一个体积为 Nπ 的 M 层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。 设从下往上数第 i 蛋糕是半径为 Ri​，高度为 Hi​ 的圆柱。当 iRi+1​且 Hi​>Hi+1​。由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积 Q最小。 令 Q =Sπ ，请编程对给出的 N 和 M ，找出蛋糕的制作方案（适当的 Ri​ 和 Hi​ 的值），使 S 最小。

（除 Q 外，以上所有数据皆为正整数）

【输入格式】

第一行为 N ，表示待制作的蛋糕的体积为 Nπ；

第二行为 M ，表示蛋糕的层数为 M 。

【输出格式】

输出仅一行，一个整数 S（若无解则 S=0 ）。

【样例输入】

100
2

【样例输出】

68
【附：圆柱相关公式：】

体积 V=$\pi R^{2}H$

侧面积 $S{}^{\prime }=2\pi Rh$

底面积 $S=\pi R^2$

【数据范围与提示】

对于全部数据，1≤N≤10^4,1≤M≤20。

大致思路

• 首先，我们要找出在每一层最大的体积与面积为多少，方便我们来进行优化

ss[0]=0;vv[0]=0;
	for(int i=1;i<=17;i++){
		ss[i]=ss[i-1]+2*i*i;//面积
		vv[i]=vv[i-1]+i*i*i;//体积
	}

• 根据题意，在dfs中为五个变量, v为已用体积，s为已有表面积，p为剩余层数，r为半径，h为高

inline void dfs(int v,int s,int m,int r,int h){

• dfs如何实现？我们枚举半径r和高h

for(int i=r-1;i>=m;i--){//枚举上一层的半径
		if(m==mm)s=i*i;
		for(int j=min((n-v-vv[m-1])/(i*i),h-1);j>=m;j--){//枚举上一层的高
			dfs(v+i*i*j,s+2*i*j,m-1,i,j);
		}

• 正常的dfs是会超时的，考虑剪枝：

• 若体积超限，return
• 若表面积大于当前ans，return
• 若当前表面积加上余下的侧面积大于ans，则此情况一定不可能优于当前答案，直接return

if(2*(n-v)/r+s>ans)return;//最重要的剪枝：当前的表面积+余下的侧面积>当前最优值
	if(v+vv[m]>n)return;//体积超出 
	if(s+ss[m]>ans)return;//表面积超出

剪完枝就可以完美ac啦

#include
using namespace std;
int n,mm,ans=1e9;
int ss[130],vv[130];//ss存储表面积,vv存储体积 
inline void dfs(int v,int s,int m,int r,int h){
	if(2*(n-v)/r+s>ans)return;//最重要的剪枝：当前的表面积+余下的侧面积>当前最优值
	if(v+vv[m]>n)return;//体积超出 
	if(s+ss[m]>ans)return;//表面积超出
	if(m==0){//v为已用体积，s为已有表面积，p为剩余层数，r为半径，h为高 
		if(v==n)ans=min(s,ans);//判断是否符合要求并得到更优解
		return;
	}	
	
	for(int i=r-1;i>=m;i--){//枚举上一层的半径
		if(m==mm)s=i*i;
		for(int j=min((n-v-vv[m-1])/(i*i),h-1);j>=m;j--){//枚举上一层的高
			dfs(v+i*i*j,s+2*i*j,m-1,i,j);
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n>>mm;
	ss[0]=0;vv[0]=0;
	for(int i=1;i<=17;i++){
		ss[i]=ss[i-1]+2*i*i;//第i层使用的最大表面积 
		vv[i]=vv[i-1]+i*i*i;//第i层使用的最大体积 
	}
	dfs(0,0,mm,sqrt(n),sqrt(n));//r，h最大值为sqrt(n) 
	if(ans==1e9)cout<<0;
	else cout<<ans;
	return 0;
}

额外注：若剪枝放在答案判断后面洛谷的加强版数据会re（会栈溢出，虽然我不知道是为什么）