递推化简+线段树区间维护，P6477 [NOI Online #2 提高组] 子序列问题

一、题目

1.1题目背景

2s 512M

1.2题目描述

给定一个长度为 $n$ 的正整数序列 $A_1$, $A_2$, $\cdots$, $A_n$。定义一个函数 $f(l,r)$ 表示：序列中下标在 $[l,r]$ 范围内的子区间中，不同的整数个数。换句话说，$f(l,r)$ 就是集合 $\{A_l,A_{l+1},\cdots ,A_r\}$ 的大小，这里的集合是不可重集，即集合中的元素互不相等。

现在，请你求出 ${\sum }_{l=1}^n{\sum }_{r=l}^n(f(l,r){)}^2$。由于答案可能很大，请输出答案对 $10^9+7$ 取模的结果。

1.3输入格式

第一行一个正整数 $n$，表示序列的长度。

第二行 $n$ 个正整数，相邻两个正整数用空格隔开，表示序列 $A_1$, $A_2$, $\cdots$, $A_n$。

1.4输出格式

仅一行一个非负整数，表示答案对 $10^9+7$ 取模的结果。

1.5样例 #1

样例输入 #1

4
2 1 3 2

样例输出 #1

43

样例 #2

样例输入 #2

3
1 1 1

样例输出 #2

6

1.6提示

对于 $10\%$ 的数据，满足 $1\le n\le 10$；

对于 $30\%$ 的数据，满足 $1\le n\le 100$；

对于 $50\%$ 的数据，满足 $1\le n\le 10^3$；

对于 $70\%$ 的数据，满足 $1\le n\le 10^5$；

对于 $100\%$ 的数据，满足 $1\le n\le 10^6$，集合中每个数的范围是 $[1,10^9]$。

1.7原题链接

https://www.luogu.com.cn/problem/P6477

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二、解题报告

1、思路分析

1e6数据量，必须想出O(N)或者O(NlogN)的解法，不然肯定过不了

我们发现a[r]对于f(l , r)的影响为：即a[r]上一次出现位置为last[a[r]]，那么f(i , r)都+1，i >= last[a[r]] + 1，其它f值都不变

这样我们似乎可以得出某种递推关系，我们令g® = Σf(l , r)^2

那么g® - g(r - 1) = Σf(l , r) ^ 2 - f(l , r - 1) ^ 2，其中last[a[r]] + 1 <= l <= r

进一步化简：g(r ) - g(r - 1) = Σf(l , r) * 2 + r - last[a[r]]

这样一来，我们就把平方和转化为线性和

我们只需要用线段树存储f(l , r)，其中l >= 1，即可，然后每求一次g®都对[last[a[r]] + 1 , r]区间+1

每次求g®只需要知道g(r - 1)和线段树对应区间和，这一步是O(logn)，枚举右端点是O(n)，整体O(nlogn)

2、复杂度

时间复杂度：O(nlogn) 空间复杂度：O(n)

3、代码详解

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define lc p << 1
#define rc p << 1 | 1
#define int long long
const int N = 1e6 + 5, MOD = 1e9 + 7;
int a[N], b[N], last[N], d[N];
struct Node
{
    int l, r, s, add;
} tr[N << 2];

void build(int p, int l, int r)
{
    tr[p] = {l, r, 0, 0};
    if (l == r)
        return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(lc, l, mid), build(rc, mid + 1, r);
}

void pushup(int p)
{
    tr[p].s = tr[lc].s + tr[rc].s;
}

void pushdown(int p)
{
    if (tr[p].add)
    {
        tr[lc].s += (tr[lc].r - tr[lc].l + 1) * tr[p].add, tr[rc].s += (tr[rc].r - tr[rc].l + 1) * tr[p].add;
        tr[lc].add += tr[p].add, tr[rc].add += tr[p].add;
        tr[p].add = 0;
    }
}

void update(int p, int l, int r, int k)
{
    if (l <= tr[p].l && tr[p].r <= r)
    {
        tr[p].s += (tr[p].r - tr[p].l + 1) * k;
        tr[p].add += k;
        return;
    }
    int mid = (tr[p].l + tr[p].r) >> 1;
    pushdown(p);
    if (l <= mid)
        update(lc, l, r, k);
    if (r > mid)
        update(rc, l, r, k);
    pushup(p);
}

int query(int p, int l, int r)
{
    if (l <= tr[p].l && r >= tr[p].r)
        return tr[p].s;
    int mid = (tr[p].l + tr[p].r) >> 1, ret = 0;
    pushdown(p);
    if (l <= mid)
        ret += query(lc, l, r);
    if (r > mid)
        ret += query(rc, l, r);
    return ret;
}

int read()
{
    int s = 0, w = 1;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9')
        w *= (ch == '-' ? -1 : 1), ch = getchar();
    while (ch >= '0' && ch <= '9')
        s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();
    return s * w;
}

void write(int x)
{
    if (x < 0)
        putchar('-');
    if (x > 9)
        write(x / 10);
    putchar((x % 10) ^ 48);
}

signed main()
{
    // freopen("in.txt", "r", stdin);
    int n = read();
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        a[i] = read(), b[i] = a[i];
    sort(b + 1, b + n + 1);
    int m = unique(b + 1, b + n + 1) - b - 1;
    for (int i = 1, k; i <= n; i++)
    {
        k = lower_bound(b + 1, b + m + 1, a[i]) - b;
        d[i] = last[k];
        last[k] = i;
    }
    int ans = 0;
    build(1, 1, n);
    for (int i = 1, cur = 0; i <= n; i++)
    {
        cur += i - d[i] + (query(1, d[i] + 1, i) << 1);
        cur %= MOD;
        ans = (ans + cur) % MOD;
        update(1, d[i] + 1, i, 1);
    }
    write(ans);
    return 0;
}