代码随想录算法训练营第38天 | 动态规划理论基础 509.斐波那契数 70.爬楼梯 746.使用最小花费爬楼梯

动态规划理论基础

动态规划适用于解决有重叠子问题的问题。所以动态规划中的每一个状态一定是由上一个状态推导来的，这一点区分于贪心，因为贪心每一步总是取局部最优。
解题步骤：

1. 确定dp数组的含义
2. 确定递推表达式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 手动测试模拟，推导dp数组

关于动态规划的debug：围绕dp数组展开，举例对dp数组的取值进行模拟，打印日志查看是否与预想一致。

斐波那契数

动态规划通用解法的完整体现。

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n < 2)  return n;
        // dp[i]为斐波那契数列F(i)的值
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];  // 递推表达式
        }
        return dp[n];
    }
};

简化的写法，其实每一次更新只与前两个数相关，只维护两个元素就行。

class Solution{
public:
	int fib(int n){
	    if(n < 2)  return n;
		int dp[2] = {0};
		dp[1] = 1;
		for(int i = 2; i <= n; i++){
			int sum = dp[0] + dp[1];
			dp[0] = dp[1];
			dp[1] = sum;
		}
		return dp[1];
	}
};

爬楼梯

dp[i]为爬 i 级台阶的爬法数目，那么可以有：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，因为要么爬一级，要么爬两级，所以总共的方法数目就来自于 i - 1 和 i - 2。
至于初始化，dp[0]没有爬0级台阶这种情况，讨论它不符合 dp 数组的含义，所以可以忽略。初始化 dp[1] 和 dp[2]，从 n = 3 开始遍历。

class Solution{
public:
	int climbStairs(int n){
		vector<int> dp(n + 1);
		if(n < 2)  return n;  // 避免dp[2]越界
		dp[1] = 1;
		dp[2] = 2;
		for(int i = 3; i <= n; i++){
			dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
		}
		return dp[n];
	}
};

其实这道题也可以扩展为一次有走更多种台阶的可能，思路仍是相似的，后面打卡中会有具体实现。

使用最小花费爬楼梯

类似的思路，掌握动态规划方法论。

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        int n = cost.size();
        // dp[i]为爬到第i级需要的最小代价
        vector<int> dp(n + 1, 0);  // dp[0]和dp[1]初始化为0，因为是从这两级开始爬，花费为0
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
        }
        return dp[n];
    }
};