概率论基础-条件概率、全概率公式、贝叶斯公式

一、条件概率

  1.1 条件概率定义

    条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为：$P(A|B)$，读作“在B的条件下A的概率”。

  1.2 条件概率例题

    投掷一枚硬币2次**，A表示“至少有一次出现正面”；B表示“两次出现同一面”，求$P(A)$、$P(B)$、$P(AB)$、$P(B|A)$、$P(B|\overline{A}))$
    其可能情况如下所示：

正、正	正、反
反、正	反、反

    因此，$P(A)=\frac{3}{4}$、$P(B)=\frac{1}{2}$、$P(AB)=\frac{1}{4}$、$P(B|A)=\frac{1}{3}$、$P(B|\overline{A})=1$。

    设A和B为任意两事件，且$P(A)>0$，比值$\frac{P(AB)}{P(A)}$为事件A发生条件下B发生的条件概率–>记为：$P(B|A))=\frac{P(AB)}{P(A)}$

    拓展：若事件$A_1、A_2、A_3、A_4...A_n$互不相容，则有如下推论：
$$\begin{array}{rl}P((A_1+A_2+A_3+...A_n)|B))& =\frac{P((A_1+A_2+A_3+...A_n)B)}{P(B)}\\ & =P(A_1|B)+P(A_1|B)+...P(A_n|B)\end{array}$$

  1.3 乘法定理

    设A和B为任意两事件，且$P(A)>0$，比值$\frac{P(AB)}{P(A)}$为事件A发生条件下B发生的条件概率–>记为：$P(B|A))=\frac{P(AB)}{P(A)}$；由条件概率可以推导出：如下乘法公式：
$$P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)$$

  1.4 乘法定理例题

    一个袋子里有100件产品，其中有10件次品，现依次不放回取出每次仅取一件，求第三次才取到正品的概率。
    解：设事件$A_i$为第$i$次取到正品($i=1,2$)；事件$A_3$为第三次才取到正品；
    $P(A)=P({\overline{A}}_1{\overline{A}}_2{A}_3)=P({\overline{A}}_1)P({\overline{A}}_2|{\overline{A}}_1)P(A_3|{\overline{A}}_1{\overline{A}}_2)=\frac{10}{100}\ast \frac{9}{99}\ast \frac{90}{98}=0.0835$

  1.5 全概率公式

    全概率公式定义如下，设$A_1、A_2\dots A_n$是互不相容的事件，且$P(A_i)>0，(i=1,2,\dots n)$，$B\subset (A_1+A_2\cdots +A_n)$，则有如下等式：
$$P(B)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$$全概率公式的意义在于，直接计算$P(B)$较为困难，而$P(A_i)$,$P(B|A_i)(i=1,2,...)$的计算较为简单时，则可以利用全概率公式计算$P(B)$
    主要以例题的形式来帮助理解全概率公式，例题如下所示：
      例1. 袋子中有10个阄，其中8个是白阄，2个是有物之阄，现甲、乙两人依次取一个，求每人抓到有物之阄的概率是多少？
     解：设事件A表示甲抓到有物之阄；事件B表示乙抓到有物之阄
$$P(A)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$$    因为甲、乙两人依次取，B只有在A发生或者A不发生的前提下发生；因此，$B\subset (A+\overline{A})$.
$$B=B(A+\overline{A})=BA+B\overline{A}$$    结合乘法公式，则可得
$$\begin{array}{rl}P(B)& =P(BA+B\overline{A})\\ & =P(BA)+P(B\overline{A})\\ & =P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})\\ & =\frac{1}{5}\times \frac{1}{9}+\frac{4}{5}\times \frac{1}{5}\\ & =\frac{1}{5}\end{array}$$       结论：抽签概率与抽签的先后顺序无关。

      例2. 一车间生产甲、乙、丙三种型号的产品，其中甲占$\%25$，乙占$\%35$，丙占$\%45$，甲、乙、丙三种产品的次品率分别为：$\%5，\%4，\%2$，现在车间中随机抽取一产品，求它是次品的概率？
     解：$A_1、A_2、A_3$表示抽到的产品为甲、乙、丙三种产品；$B$表示抽到的产品为次品。因此，$B\subset (A_1+A_2+A_3)$，且$A_1+A_2+A_3$互不相容，则利用全概率公式可得：
$$\begin{array}{rl}P(B)& =P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)\\ & =\%25\times \%5+\%35\times \%4+\%45\times \%2\\ & =0.0345\end{array}$$

  1.6 贝叶斯公式

     贝叶斯公式又被称为贝叶斯定理、贝叶斯规则是概率统计中的应用所观察到的现象对有关概率分布的主观判断（即先验概率）进行修正的标准方法。
     所谓贝叶斯公式，是指当分析样本大到接近总体数时，样本中事件发生的概率将接近于总体中事件发生的概率。
     1. 一车间生产甲、乙、丙三种型号的产品，其中甲占$\%25$，乙占$\%35$，丙占$\%45$，甲、乙、丙三种产品的次品率分别为：$\%5，\%4，\%2$，现再车间中随机抽取一产品，现已知抽取的产品是次品，求它分别属于甲、乙、丙类型次品的概率？(备注：对1.5小节中的例题2进行扩展)

     解：$A_1、A_2、A_3$表示抽到的产品为甲、乙、丙三种产品；$B$表示抽到的产品为次品。由1.5可知$P(B)=0.0345$。
     抽到的次品是甲类型次品的概率：$P(A_1|B)=\frac{P(A_{1}B)}{P(B)}=\frac{\%25\times \%5}{0.0345}\approx 0.362$
     抽到的次品是乙类型次品的概率：$P(A_2|B)=\frac{P(A_{2}B)}{P(B)}=\frac{\%35\times \%4}{0.0345}\approx 0.406$
     抽到的次品是丙类型次品的概率：$P(A_3|B)=\frac{P(A_{3}B)}{P(B)}=\frac{\%45\times \%2}{0.0345}\approx 0.232$
     设$A_1、A_2\dots A_n$是互不相容的事件，且$P(A_i)>0，(i=1,2,\dots n)$，$B\subset (A_1+A_2\cdots +A_n)$，$P(B)>0$，利用全概率公式和乘法公式则可以得到-贝叶斯公式：
$$\begin{array}{rl}P(A_i|B)& =\frac{P(A_{i}B)}{P(B)}\\ & =\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{{\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)}\end{array}$$

     $P(A_i)$为先验概率(已知得病概率)，$P(A_i)|B)$为后验概率(例如，抽烟导致得病的概率)已知先验概率求后验概率。===>已知结果找原因

二、参考文献

    1、四小时速成概率论
    1、全概率公式的理解