高中奥数 2021-09-19

2021-09-19-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P045 习题13）

凸四边形有内切圆,该内切圆切边、、、的切点分别为、、、,连结、、、,点、、、分别为、、、的中点.证明:四边形为矩形的充分必要条件是、、、四点共圆.

证明

如图,设为四边形的内切圆圆心.由于为的中点.

图1

而与为过点所作的的切线.

故在上,且.

又.

故由射影定理可知.

其中为内切圆半径.

同理可知.在上,且.

于是,.

故、、、四点共圆.

所以,.

类似地,可证;,.

将这四个式子相加得.

所以,、、、四点共圆的充要条件是、、、四点共圆.

而熟知一个四边形的各边中点围成的四边形是平行四边形.

平行四边形为矩形的充要条件是该四边形的四个顶点共圆.

因此,为矩形的充要条件是、、、四点共圆.

2021-09-19-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P045 习题14）

如图,在中,,是边的中点,是外一点,满足,.过线段的中点作直线,交的外接圆的劣弧于点.求证:.(2010女子数学奥林匹克)

图2

证明

如图,易知.

图3

由此可知的外接圆的圆心为线段的中点.

延长交于点,连结,过点作,,分别交、于点、.

设直线分别与直线、、交于点、、,直线与交于点.

由条件知.所以,、、、四点共圆.

故.

因为,,所以,.

由射影定理得.

从而,四边形是矩形.

则.

因为是的中点,且,所以.

于是.

从而,.

因为,所以,.

而,且,于是,.

因此,,即.