Python算法100例-1.3 牛顿迭代法求方程根

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1．问题描述

编写用牛顿迭代法求方程根的函数。方程为$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$，系数a、b、c、d由主函数输入，求x在1附近的一个实根。求出根后，由主函数输出。

牛顿迭代法的公式：$x=x_0-\frac{f(x)}{f^{\prime }(x_0)}$，设迭代到$|x-x_0|\le 1\ast 10^{-5}$时结束。

2．问题分析

牛顿迭代法是取$x_0$之后，在这个基础上找到比$x_0$更接近的方程根，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似根。

设$r$是$f(x)=0$的根，选取$x0$作为r的初始近似值，过点$(x_0,f(x_0))$做曲线$y=f(x)$的切线L，L的方程为$y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$，求出L与x轴交点的横坐标$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x0)}$，称$x_1$为$r$的一次近似值；

过点$(x1,f(x_2))$做曲线$y=f(x)$的切线，并求出该切线与x轴交点的横坐标$x_2=x_1-\frac{f(x1)}{f^{\prime }(x1)}$，称$x_2$为$r$的二次近似值；重复以上过程，得到$r$的近似值$x_n$。上述过程即为牛顿迭代法的求解过程。

3．算法设计

程序流程分析：

1）在1附近找任一实数作为$x_0$的初值，我们取1.5，即$x_0$=1.5。

2）用初值$x_0$代入方程中计算此时的$f(x0)$及$f^{\prime }(x0)$；程序中用变量f描述方程的值，用fd描述方程求导之后的值。

3）计算增量h=f/fd。

4）计算下一个$x$，$x$=$x_0$-h。

5）用新产生的$x$替换原来的$x_0$，为下一次迭代做好准备。

6）若$|x-x0|＞=1e-5$，则转到步骤（3）继续执行，否则转到步骤（7）。

7）所求$x$就是方程$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$的根，将其输出。

4．确定程序框架

程序流程图如图所示。

5．迭代法求方程根

编写程序时要注意的一点是判定|x-x0|＞=1e-5，许多初学者认为判定条件应该是|x-x0|<1e-5，从牛顿迭代法的原理可以看出，迭代的实质就是越来越接近方程根的精确值，最初给x0所赋初值与根的精确值是相差很多了，正是因为这个我们才需要不断地进行迭代，也就是程序中循环体的功能。在经过一番迭代之后所求得的值之间的差别也越来越小，直到求得的某两个值的差的绝对值在某个范围之内时便可结束迭代。若我们把判定条件改为|x-x0|<1e-5，则第一次的判断结果必为假，这样我们就不能进入循环体再次执行。希望初学者对于本类题目条件的判定要多加注意。

6．完整的程序

根据上面的分析，编写程序如下：

%%time
# 牛顿迭代法求方程根
# 函数功能是用牛顿迭代法求方程的根
def solution(a, b, c, d):
    x = 1.5
    x0 = x                                                          # 用所求得的x值代替x0原来的值
    # f用来描述方程的值，fd用来描述方程求导之后的值
    f = a * x0 * x0 * x0 + b * x0 * x0 + c * x0 + d
    fd = 3 * a * x0 * x0 + 2 * b * x0 + c
    h = f / fd
    x = x0 - h                                              # 求得更接近方程根的x值
    while abs(x - x0) >= 1e-5:
        x0 = x
        f = a * x0 * x0 * x0 + b * x0 * x0 + c * x0 + d
        fd = 3 * a * x0 * x0 + 2 * b * x0 + c
        h = f / fd
        x = x0 - h                                          # 求得更接近方程根的x值

    return x

if __name__ == '__main__':
    print("请输入方程的系数：")
    # a,b,c,d代表所求方程的系数
    a, b, c, d = map(float, input().split())
    print("方程的参数为：" , a, b, c, d)
    # x用来记录求得的方程根
    x = solution(a, b, c, d)
    print("所求方程的根为x=%.6f"% x)

请输入方程的系数：
方程的参数为： 2.0 -4.0 3.0 -6.0
所求方程的根为x=2.000000
CPU times: user 214 ms, sys: 78.1 ms, total: 293 ms
Wall time: 27.3 s