ASM-HEMT模型中漏极电流公式推导

主要公式用单个数字表示，如（1）。公式中物理量的再详细表达式加点表示，如（1.1），以此类推。
$$I_d=\frac{W}{L}{\mu }_{eff}{C}_g(V_{go}-{\psi }_m+V_{th}){\psi }_{ds}（1）$$
W和L分别是栅宽和栅长
${\mu }_{eff}$是有效载流子迁移率
C_g是有效势垒电容
V_go是栅极电压减去截止电压
${\psi }_m$是沟道中点的表面势
V_th是热电压
${\psi }_{ds}$是漏极到源极的电势差

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$${\mu }_{eff}=\frac{{\mu }_0}{1+{\mu }_A{E}_{y,\mathrm{eff}}+{\mu }_B{E}_{y,\mathrm{eff}}^2}（1.1）$$
${\mu }_0$是低场迁移率
${\mu }_A$和${\mu }_B$是从实测数据中提取的模型参数，分别是一阶和二阶迁移率退化系数

$E_{y,\mathrm{eff}}$是有效垂直电场：
$$E_{y,eff}=Q_{ch}/{\epsilon }_{AlGaN}（\mathrm{1.1.1}）$$

${\epsilon }_{\mathrm{AlGaN}}$是介电系数
Q_ch是沟道平均电荷：
$$Q_{ch}=\frac{C_g}{{\epsilon }_{AlGaN}}|V_{go}-{\psi }_m|（\mathrm{1.1.1.1}）$$
Cg表达式参照（1.2）
Vgo表达式参照（1.3）
${\psi }_m$表达式参照（1.4）

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$$C_g=\frac{{\epsilon }_{\mathrm{AlGaN}}}{d}（1.2）$$
${\epsilon }_{\mathrm{AlGaN}}$是介电系数
d是势垒层厚度

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$$V_{go}=V_g-V_{\mathrm{off}}（1.3）$$
V_g是栅电压
V_off是截止电压：
$$V_{off}={\varphi }_B(x)-\Delta E_c(x)-\frac{q{N}_d{d}^2}{2{\epsilon }_{AlGaN}}-\frac{q\sigma d}{{\epsilon }_{AlGaN}}（\mathrm{1.3.1}）$$
其中 x 为铝组分，${\varphi }_B(x)$为肖特基势垒高度，$E_c(x)$为 AlGaN 和 GaN 之间的导带不连续性，q是电子电荷，N_d 是 AlGaN 层的掺杂浓度，σ 是极化引入的面电荷密。
$${\varphi }_B(x)=\left(1.3x+0.84\right)eV（\mathrm{1.3.1.1}）$$
$$\Delta E_c(x)=0.7\left[E_g(x)-E_g(0)\right]（\mathrm{1.3.1.2}）$$
$$E_{{}_g}(x)=x{E}_{{}_g}(\text{AlN})+(1-x)E_{{}_g}(\text{GaN})-x(1-x)1.0\text{eV}=x6.13\mathrm{eV}+(1-x)3.42\mathrm{eV}-x(1-x)1.0\mathrm{eV}（\mathrm{1.3.1.3}）$$

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$${\psi }_m=({\psi }_d+{\psi }_s)/2（1.4）$$

$${\psi }_d=V_f+V_{d,eff}（\mathrm{1.4.1}）$$
$V_f$是三角形势阱中对应于费米能级的势
$V_{d,eff}$是漏极处的有效电压

公式（1.4.1.1.1）在所有区域都是有效的，但在接近截止电压Voff的区域，采用V_f,unified时获得的精度约为毫伏级别。为此，对公式（1.4.1.1.1）给出的解决方案进行了细化处理，并在所有区域实现了皮伏特或更高级别的精度：
$$V_f=V_{f,unified}-\frac{p}{q}\left(1+\frac{pr}{2q^2}\right)（\mathrm{1.4.1.1}）$$

Quantity	Expression
$k_{0,1}$	${\gamma }_{0,1}{\left(\frac{C_g}{q}\right)}^{2/3}$
$V_{gef}$	$V_g-V_{off}-E_f$
${\xi }_{0,1}$	$\exp \left(\frac{E_{f,unified}-k_{0,1}{V}_{gef}^{2/3}}{V_{th}}\right)$
$\text{p}$	$\frac{C_g}{q}{V}_{gef}-{\sum }_{i=0}^{1}D{V}_{th}\ln ({\xi }_i+1)$
$\text{q}$	$-\frac{C_g}{q}-{\sum }_{i=0}^1\frac{D}{1+{\xi }_i^{-1}}\left(1+(2/3)k_i{V}_{gef}^{-1/3}\right)$
$\text{r}$	${\sum }_{i=0}^1\frac{\frac{2}{9}{V}_{gef}^{-4/3}D{k}_i(1+{\xi }_i^{-1})+\frac{D}{V_{th}}{\left(1+\frac{2}{3}{k}_i{V}_{gef}^{-1/3}\right)}^2}{{\left(1+{\xi }_i^{-1}\right)}^2}$

采用E_f代替E_f,unified，重新评估k_0/1、ξ_0/1、V_gef、p、q和r的值，并根据（1.4.1.1）式获得最终解决方案E_f,s。这些计算步骤遵循Householder方法求解隐函数的过程。
令人遗憾的是：因为最初的关于电子密度和电势的方程是超越方程（82年TED），所以提出了统一能级表达式来近似超越方程的数值解。但现在统一能级的表达也因为精度不够高，又一次进行了隐函数的求解。
统一能级表达式：
$$V_{f,unified}=V_{go}-\frac{2V_{tv}ln(1+e^{\frac{V_{go}}{2V_{tv}}})}{\frac{1}{H(V_{go,eff})}+(\frac{C_g}{qD})e^{-\frac{V_{go}}{2V_{tv}}}}（\mathrm{1.4.1.1.1}）$$

$$V_{tv}=KB\cdot T_{dev}cdsc（\mathrm{1.4.1.1.1.1}）$$
$$T_{dev}=T+V(rth)（\mathrm{1.4.1.1.1.1.1}）$$
$$cdsc=1+NFACTOR+(CDSCD+cdsc{d}_{trap})\cdot V_{dsx}（\mathrm{1.4.1.1.1.1.2}）$$
NFACTOR为子V_OFF斜率参数
CDSCD为由于漏极电压引起的子V_OFF斜率变化
$$V_{dsx}=\sqrt{V_{ds}^2+0.01}（\mathrm{1.4.1.1.1.1.2.1}）$$
$$H(V_{g0})=\frac{V_{g0}+V_{tv}[1-ln(\beta V_{gon})]-\frac{{\gamma }_0}{3}(\frac{C_g{V}_{g0}}{q}{)}^{\frac{2}{3}}}{V_{g0}(1+\frac{V_{t\upsilon }}{V_{god}})+\frac{2{\gamma }_0}{3}(\frac{C_g{V}_{g0}}{q}{)}^{\frac{2}{3}}}（\mathrm{1.4.1.1.1.2}）$$
$$V_{g0x}=\frac{V_{g0}{\alpha }_x}{\sqrt{V_{g0}^2+{\alpha }_x^2}}（\mathrm{1.4.1.1.1.2.1}）$$
其中${\alpha }_n=e/\beta$，${\alpha }_d=1/\beta$
$$V_{g0,eff}=\frac{1}{2}\left(V_{g0}+\sqrt{V_{g0}^2+4e{p}_{ps{i}^2}}\right)（\mathrm{1.4.1.1.1.3}）$$
$e{p}_{psi}$为平滑常数
$$C_g=\frac{{\epsilon }_{AlGaN}}{TBAR}（\mathrm{1.4.1.1.1.4}）$$
TBAR为势垒层厚度

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$$V_{d,eff}=V_{ds}{\left(1+{\left(\frac{V_{ds}}{V_{dsat}}\right)}^{DELTA}\right)}^{\frac{-1}{DELTA}}（\mathrm{1.4.1.2}）$$
DELTA为V_d,eff的指数
$$V_{dsat}=\frac{(2VSAT(T)/{\mu }_{eff})L\cdot V_{g0,eff}}{(2VSAT(T)/{\mu }_{eff})L+V_{g0,eff}}（\mathrm{1.4.1.2.1}）$$
VSAT为饱和速度
${\mu }_{eff}$表达式参照（1.1）
L为栅长
$V_{g0,eff}$表达式参照（1.4.1.1.1.3）

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$${\psi }_s=V_f+V_s（\mathrm{1.4.2}）$$
$V_f$参照表达式（1.4.1.1）
$V_s$为源极电压

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$$V_{\mathrm{th}}=kT/q（1.5）$$
k是玻尔兹曼常数
T是温度
q是电子电荷

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$${\psi }_{ds}=({\psi }_d-{\psi }_s)（1.6）$$
${\psi }_d$参照表达式（1.4.1）
${\psi }_s$参照表达式（1.4.2）

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