ST算法解决RMQ问题详解(图文并茂,保证看懂)
一.RMQ问题的概念
RMQ（Range Minimum/Maximum Query）问题，简单说就是求区间最值问题，是求区间最大值或最小值，即范围最值问题，若是简单的单次询问或者是区间长度很短的询问，可以用暴力的方法来实现，但面对大数据的时候此方法必然超时，这里介绍Ｏ(nlogn)预处理，O(1)查询的ST算法。
二,st算法
ST算法(Sparse Table)是用于解决RMQ问题(区间最值问题)的一种强有力的工具。
它可以O(nlogn)预处理，O(1)查询最值，利用的是倍增的思想。
但是使用ST算法后就不能进行修改操作了。
st算法的主要思想就是将所求的区间化为两个小区间，这两个区间的长度正好是2的k次幂，总长度正好覆盖[l,r]，得到的结果就是所求答案。
首先要清楚为什么是分成两段，而不是3段，4段，首先分成两段的话更好写的，比那些处理3段以及n段更简单。在logn的时间复杂度下，以2为底或者以其他数为底的话，时间复杂度差距也不是那么明显，所以选择了分成两段，便于位运算以及其他方面的简便操作。
三,例题
-
#A. Balanced Lineup排队
Description
每天,农夫 John 的N(1 <= N <= 50,000)头牛总是按同一序列排队.
有一天, John 决定让一些牛们玩一场飞盘比赛. 他准备找一群在队列中位置连续的牛来进行比赛.
但是为了避免水平悬殊,牛的身高不应该相差太大. John 准备了Q (1 <= Q <= 180,000) 个可能的牛的选择和所有牛的身高 (1 <= 身高 <= 1,000,000).
他想知道每一组里面最高和最低的牛的身高差别.
注意: 在最大数据上, 输入和输出将占用大部分运行时间.
Format
Input
-
第一行: N 和 Q. * 第2..N+1行: 第i+1行是第i头牛的身高.
-
第N+2..N+Q+1行: 两个整数, A 和 B (1 <= A <= B <= N), 表示从A到B的所有牛.
Output
*第1..Q行: 所有询问的回答 (最高和最低的牛的身高差), 每行一个.
Samples
输入数据 1
6 3
1
7
3
4
2
5
1 5
4 6
2 2
输出数据 1
6
3
0
思路
这道题是一道RMQ模板题，它要求的是一段区间内的最大值和最小值之差，因此我们要建立两个RMQ预处理内容，分别处理最大值和最小值。
建一个mx[i][j]代表从i开始,长度为2^j的区间内的最大值,mn[i][j]代表从i开始,长度为2^j的区间内的最小值。
根据倍增思想，长度为2^j的区间可被分成两个长度为2^(j-1)的子区间，然后求两个子区间的最值即可。所以在预处理时将该区间从中间平均分成两部分(中间有重叠没关系,不影响求最值)，每一部分的元素个数恰好为2^j-1个，也就是说，状态转移方程为:
mx[j][i] = max(mx[j][i - 1],mx[j + s[i - 1]][i - 1])
mn[j][i] = min(mn[j][i - 1],mn[j + s[i - 1]][i - 1])
（s[i]代表2^i次方）
若F[i, j]表示[i, i+2^j-1]区间的最值，区间长度为2^j，则i和j的取值范围是多少呢？
若数组的长度为n，最大区间长度2^r≤n<2^(r+1)，则r=⌊log2n⌋，比如n=8时k=3，n=10时k=3。在程序中，r=log2(n),i从1~i<=r,j从1~s[i]+j-1<=n(因为i代表区间长度,j代表区间的开始位置)
预处理代码:
void pre()
{
int r = log2(n);
for(int i = 1; i <= r; i++)
for(int j = 1; s[i] + j - 1 <= n; j++)
{
mx[j][i] = max(mx[j][i - 1],mx[j + s[i - 1]][i - 1]);
mn[j][i] = min(mn[j][i - 1],mn[j + s[i - 1]][i - 1]);
}
}预处理完后，就要开始查询了。
若查询[l,r]区间的最大和最小值，则首先计算k值，和前面的计算方法相同，区间长度为r-l+1，
2^k≤r-l+1<2^(k+1)，因此k=log2(r-l+1) 。
若查询区间的长度大于或等于2^k且小于2^(k+1)，则根据倍增思想，可以将查询区间分为两个查询区间，取两个区间的最值即可。两个区间分别为从l向后的2^k个数及从r向前的2^k个数，这两个区间可能有重叠，但对求最值没有影响。
查询代码:
int f(int x,int y)
{
int r = log2(y - x + 1);
int t1 = max(mx[x][r],mx[y - s[r] + 1][r]);
int t2 = min(mn[x][r],mn[y - s[r] + 1][r]);
return t1 - t2;
}整体代码
#include
#define int long long
using namespace std;
int t,n,q,a[1000001],mx[1000001][20],mn[1000001][20],s[1000001],x,y;
void pre()
{
int r = log2(n);
for(int i = 1; i <= r; i++)
for(int j = 1; s[i] + j - 1 <= n; j++)
{
mx[j][i] = max(mx[j][i - 1],mx[j + s[i - 1]][i - 1]);
mn[j][i] = min(mn[j][i - 1],mn[j + s[i - 1]][i - 1]);
}
}
int f(int x,int y)
{
int r = log2(y - x + 1);
int t1 = max(mx[x][r],mx[y - s[r] + 1][r]);//最大
int t2 = min(mn[x][r],mn[y - s[r] + 1][r]);//最小
return t1 - t2;//差
}
signed main()
{
s[0] = 1;
for(int i = 1; i <= 20; i++) s[i] = s[i - 1] * 2;//s[i]代表2^i次方
scanf("%lld%lld",&n,&q);
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
scanf("%lld",&t);
mx[i][0] = mn[i][0] = t;//初始化,从第i个位置向后延2^0位的最大值和最小值都是输入的第i个位置上的数
}
pre();//预处理
for(int i = 1; i <= q; i++)
{
scanf("%lld%lld",&x,&y);
printf("%lld\n",f(x,y));//查询
}
return 0;
} 2.#B. 静态区间
Description
给你N个数字a[1],a[2]..........a[n]
M次询问，每次给定一个区间[L,R]
求a[L]......a[R]的最大公约数
Format
Input
第一行给出数字N，M
第二行N个数字,其值<=1e9
接下来M对数字
N<=5e4
M<=1e5
Output
输出M个行，每行一个数字
Samples
输入数据 1
5 3
4 12 3 6 7
1 3
2 3
5 5
输出数据 1
1
3
7
思路
跟上面一题一模一样,只不过不用2个数组,保留mx[][]就行,并且把定义改成mx[i][j]代表从i开始,长度为2^j的区间内的最大公约数，最后再把所有max()改成__gcd(),就可以了。
代码
#include
#define int long long
using namespace std;
int s[10000001],n,q,a[10000001],mx[100001][101],t,x,y;
void f()
{
int r = log2(n);
for(int i = 1;i <= r;i++)
for(int j = 1;s[i] + j - 1 <= n;j++)
{
mx[j][i] = __gcd(mx[j][i - 1],mx[j + s[i - 1]][i - 1]);
}
}
int ff(int x,int y)
{
int r = log2(y - x + 1);
int t1 = __gcd(mx[x][r],mx[y - s[r] + 1][r]);
return t1;
}
signed main()
{
s[0] = 1;
for(int i = 1;i <= 15 ;i++) s[i] = s[i - 1] * 2;
scanf("%lld%lld",&n,&q);
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
scanf("%lld",&t);
mx[i][0] = mn[i][0] = t;
}
f();
for(int i = 1;i <= q;i++)
{
scanf("%lld%lld",&x,&y);
printf("%lld\n",ff(x,y));
}
return 0;
} 结语
怎么样?听懂了吗？如果这篇文章您听懂了的话请留个赞再走吧,goodbye~
