【学习笔记】树上差分总结(点差分/边差分)
一.树上差分的基本概念
1.树上差分的定义
树上差分，顾名思义，意思就是在树上做差分。
至于什么是差分呢？如果不会的同学，可以先看看我的这篇博客:一维,二维差分の详解（简单易懂）_一维差分-CSDN博客
2.树上差分能解决的问题
树上差分有什么作用？举个例子，如果题目要求对树上的一段路径进行操作，并询问某个点或某条边被经过的次数，树上差分就可以派上用场了。
类比于差分数组,树上差分利用的思想也是前缀和思想。(在这里应该是子树和思想）
树上差分，就是利用差分的性质，对路径上的重要节点进行修改（而不是暴力全改），作为其差分数组的值，最后在求值时，利用dfs遍历求出差分数组的前缀和得出答案，就可以达到降低复杂度的目的。
树上差分时需要求LCA，不会的同学可以先看看我的这篇博客:详解最近公共祖先(LCA)-CSDN博客
树上差分一般有两种类型的题目，一种是对边进行差分，另一种就是对点进行差分。
下面我将会分别讲解一下这两种问题。
二.点差分
1.思路
直接去dfs暴力加点权的话，肯定会TLE,但是我们现在在讲啥?树上差分啊!
假设需要将两点u,v之间路径上的所有点权增加x,l是lca(u,v),p是l的父亲节点，则差分操作如下：
sum[u] += x;
sum[v] += x;
sum[l] -= x;
sum[p] -= x;举个栗子(其中假设x=1):
其中s和t就是题目中树上点权需要加1的节点的起始点，绿色的数字代表点权(已经加1了)
则操作后有：
至于为什么要这么操作呢?别急，继续往下看。
做完上述的差分操作后，我们就要统计答案了。
当我们dfs搜索到s，向上回溯。
下面以u表示当前dfs搜索到的节点。
对于每个u统计它的子树大小(要用前缀和的思想记录每个点的点权了)，顺着路径标起来。
(即sum[u] += sum[son])
我们会发现第一次从s回溯到s与t的LCA时候,sum[LCA(s,t)] += sum[son[LCA(s,t)]]
此时sum[LCA(s,t)]=0(-1+1=0)。这时我们不禁会有一个疑问: "不是LCA(s,t)会被经过一次嘛,为什么是0!"
别急,我们继续搜另一边。.
继续：我们搜索到t,向上回溯。
依旧统计每个u的子树大小sum[u]+=sum[son]
再度回到LCA(s,t)，依旧是sum[LCA(s,t)]+=sum[son[LCA(s,t)]]
这个时候 sum[LCA(s,t)]=1 这就达到了我们要的效果 (是不是特别优秀φ(゜▽゜*)♪)
但是我们还要思考一个问题:万一我们再从LCA(s,t)向上回溯的时候使得其父亲节点的子树和为1怎么办?这样我们不就使得其父亲节点被多经过了一次?
其实很简单，我们只需要在前面差分操作时将sum[fa[lca(s,t)]]-=x就行了。
这样就达到了标记我们路径上的点的要求! 是否有一种恍然大悟的感觉呢?
2.例题Max flow
问题
参考代码
#include
using namespace std;
int n,q,mx[300001][41],deep[300001],sum[300001],ans;
vector vec[300001];
void dfs(int x,int fa)//lca的初始化
{
deep[x] = deep[fa] + 1;
mx[x][0] = fa;
for(int i = 0;i < vec[x].size();i++)
if(vec[x][i] != fa)
dfs(vec[x][i],x);
}
int lca(int x,int y)//倍增法求lca
{
if(deep[x] < deep[y]) swap(x,y);
for(int i = 40;i >= 0;i--)
if(deep[mx[x][i]] >= deep[y])
x = mx[x][i];
if(x == y) return x;
for(int i = 40;i >= 0;i--)
if(mx[x][i] != mx[y][i])
{
x = mx[x][i];
y = mx[y][i];
}
return mx[x][0];
}
void dfss(int x,int fa)//统计答案的最大值
{
for(int i = 0;i < vec[x].size();i++)
{
int t = vec[x][i];
if(t == fa) continue;
dfss(t,x);
sum[x] += sum[t];//在树上进行类似于前缀和的操作
}
ans = max(ans,sum[x]);//取最大值
}
signed main()
{
cin>>n>>q;
for(int i = 1;i < n;i++)
{
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
vec[u].push_back(v);
vec[v].push_back(u);
}
dfs(1,0);
for(int j = 1;j <= 40;j++)
for(int i = 1;i <= n;i++)
mx[i][j] = mx[mx[i][j - 1]][j - 1];
while(q--)
{
int u,v;
cin>>u>>v;
int l = lca(u,v);
sum[u]++;//树上差分
sum[v]++;
sum[l]--;
if(l != 1) sum[mx[l][0]]--;//如果l有父节点就进行后面的操作
}
dfss(1,0);
cout< 三.边差分
1.思路
思想其实和点差分是一样的，我来讲一下操作。
设将两点s,t之间路径上的所有边权增加x，l=LCA(s,t)，以每条边两端深度较大的节点存储该边的差分数组，则操作如下：
sum[s] += x;
sum[t] += x;
sum[l] -= 2 * x;举个栗子(其中假设x=1):
红色边为需要经过的边,绿色的数字代表经过次数。
但是由于我们不能储存边权，所以只能把边权塞给了点权,因此我们的图应该是这样的
这样的话我们只要把sum[s]++,sum[t]++,sum[lca(s,t)]-=2就可以实现差分操作了。
同样地，只要dfs一遍，遍历时统计以每个节点为根的树的节点的权值和，就是当前节点到父亲节点的边的最终权值了！
是不是很厉害
至于为什么点差分和边差分的操作不一样，很简单，请读者自己思考。
树上差分主要还是学习思想吧！
2.例题树上必经边--边差分
问题
参考代码
#include
using namespace std;
int n,q,mx[300001][41],deep[300001],sum[300001],ans,k;
vector vec[300001];
void dfs(int x,int fa)
{
deep[x] = deep[fa] + 1;
mx[x][0] = fa;
for(int i = 0;i < vec[x].size();i++)
if(vec[x][i] != fa)
dfs(vec[x][i],x);
}
int lca(int x,int y)
{
if(deep[x] < deep[y]) swap(x,y);
for(int i = 40;i >= 0;i--)
if(deep[mx[x][i]] >= deep[y])
x = mx[x][i];
if(x == y) return x;
for(int i = 40;i >= 0;i--)
if(mx[x][i] != mx[y][i])
{
x = mx[x][i];
y = mx[y][i];
}
return mx[x][0];
}
void dfss(int x,int fa)
{
for(int i = 0;i < vec[x].size();i++)
{
int t = vec[x][i];
if(t == fa) continue;
dfss(t,x);
sum[x] += sum[t];
}
}
signed main()
{
cin>>n>>q>>k;
for(int i = 1;i < n;i++)
{
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
vec[u].push_back(v);
vec[v].push_back(u);
}
dfs(1,0);
for(int j = 1;j <= 40;j++)
for(int i = 1;i <= n;i++)
mx[i][j] = mx[mx[i][j - 1]][j - 1];
while(q--)
{
int u,v;
cin>>u>>v;
int l = lca(u,v);
sum[u]++;
sum[v]++;
sum[l] -= 2;
}
dfss(1,0);
for(int i = 2;i <= n;i++)
if(sum[i] == k)
ans++;
cout< 四.BB in last
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