数与抽象之初探无穷大

初探无穷大

“抽象思维中的愉悦与数学中的无穷大与虚数的对比”

一旦我们学会抽象地思考，事情就会立刻变得令人愉悦，这个境况有点像突然能够骑自行车而不必去担心保持平衡。然而，我也并不希望使大家觉得抽象方法就好像是印钞许可证。我们可以来作一个有趣的对比，比较一下向数系中引入i与引入数字无穷大之间的区别。乍看起来，似乎没什么可以阻止我们：无穷大应当用来表示1除以0之类的，所以，为什么不使∞成为一个抽象符号，用它来表示方程$0x=1$的解呢？

“抽象思维中的愉悦与数学中的无穷大与虚数的对比：保持算术定律的挑战”

但当我们想做算术时，这个想法的问题立刻就来了。我们在这里举个例子，利用乘法结合律M2和0×2=0的事实，就可以得到简单推论：
$$1=\infty \ast 0=\infty \ast (0\ast 2)=(\infty \ast 0)\ast 2=1\ast 2=2$$
这个式子表明，方程$0x=1$的解若存在将会导致不相容性。这是否意味着无穷大不存在呢？并不是。这只说明，无穷大的自然概念与算术定律是不相容的。扩充数系以将符号∞包含进来，并且接受在新的系统中这些算术定律并非总是成立，这样做有时是有用处的。但是通常，人们还是希望保持算术定律，不考虑无穷大。

总结

抽象思维带来的愉悦与数学中的无穷大与虚数之间存在着一些有趣的对比。在数学中引入虚数i和无穷大的概念时，我们必须面对一些问题。虽然无穷大可以用来表示1除以0等情况，但这样做会导致一些不相容性，与算术定律不兼容。为了解决这个问题，我们可以扩充数系并接受新的系统中的算术定律，但通常人们更倾向于保持算术定律，不考虑无穷大。抽象思维和数学中的概念引入都有其独特的挑战，但它们也为我们提供了更深入理解和探索世界的机会。