快速幂 位运算 与运算 右移运算 把乘方运算转换成乘法运算 AcWing 875. 快速幂

#include

using namespace std;

typedef long long LL;

int qmi(int a,int b,int p)
{
    int res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            res=(LL)res*a%p;
        b>>=1;
        a=(LL)a*a%p;
    }
    
    return res;
}

int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    
    while(t--)
    {
        int a,b,p;
        cin>>a>>b>>p;
        
        cout<<qmi(a,b,p)<<endl;
    }
    
    return 0;
}

之前其实算是一知半解

但是现在感觉是比较清楚了

要是看不懂可以一遍一遍看，看不同的讲解，看视频讲解，还可以去b站搜索视频讲解，看文字题解，看算法进阶指南

快速幂算法

把乘方运算转换成乘法运算

但是不是暴力的转换，如果是暴力的转换，其实没有什么意义，因为要乘的数字太多了，时间复杂度太高了

我们知道一个十进制的数字一定可以用二进制来表示，牢牢抓住这一点，可以简化计算，在规定时间内算出答案

首先假定幂指数是2的整数次方，那么我们可以先算出$2^1,2^2,2^4,2^8,2^{16},2^{32}$,每一次算后面的数字就是前面一个数字的平方

比如说$2^{32}$，本来暴力计算要算32个2相乘，现在只需要计算5次，从$2^0$计算到$2^{32}$，也就是只需要计算$lo{g}_{2}32$次

假设不是2的整数次幂，那么该幂指数用二进制表示，把数位上是1的部分相乘即可，数位对应的a的数值提前预处理出来

b&1是判断该数字用二进制表示的时候最后一位是不是1

b>>=1表示去掉二进制表示的时候的最后一位数字，相当于随着循环进行，结合上面的代码，可以遍历幂指数的二进制表示的每一个数位，是从最后一个数位开始从后往前遍历

每一次a=a*a表示的是预处理a，思想是倍增原理，每一次乘a太慢，注意，这里乘的不是原来的a，而是平方之后的a，也就是每一次都是新的a,比如说最开始a==2，第一次循环，a=4,第二次循环a=16，第三次循环a=16*16

每一次计算答案都需要取模运算，防止超过数据范围，两个int数据相乘会超过数据范围，所以需要强制转换成long long