数据结构——第六章（树）

1. 树

1.1 树的基本概念

• 树：由N个节点（N>=0）构成的集合，有且仅有一个根节点，且树是递归定义的结构。
• 当n>1时，有m个互不相交的有限集合（判断是否为树:观察他们的子树是否相交）
• 结点的度：节点拥有子树的数量/分支的数量（度为0——叶子/终端节点）
• 树的度：树中所有节点的度数最大值。
• 深度：根节点开始自顶向下累加。
• 树的深度：树中节点的最大层数。
• 路径长度：路经过边的个数

1.1 树的性质

• 树中的节点数等于所有节点的度数加1（分支数量+根节点）
• 度为m的树中第h层上至多有 m h - 1 个节点（数学归纳法）
• 树的节点总个数确定下，“完全”m插树，高度最小
• 树的节点总个数确定下，全部只有一个孩子节点的时候，高度最大
• 高度为h的m叉树至多有 1 × 1 - m h 1 - m 个节点（满二叉树时，等比求和）

最重要的公式（ N i ——度为i的节点个数）
N总= N o + N 1 + N 2 … … + N m （N总——树的总节点个数）
B= 0 × N 0 + 1 × N 1 + … . + m × N m （树的分支数，即边数）
N总= B+1

1.2 树的存储结构

• 孩子表示法：用指针表示每个节点的孩子节点
• 双亲表示法：用指针表示每个节点的双亲节点
• 双亲孩子表示法：用指针表示每个节点的双亲节点和孩子节点
• 孩子兄弟表示法：用指针表示每个节点的孩子节点和兄弟节点

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2. 二叉树

2.1 二叉树概念

• 一个二叉树是节点的一个有限集合，该集合或为空，或由根节点加上两颗分别称为左子树和右子树的二叉树组成

2.2 二叉树的特点

• 左右子树有顺序
• 每个节点最多有两颗子树

2.3 二叉树的5种形态

2.4 特殊二叉树

• 斜树：左斜树，右斜树
• 满二叉树：只有度为2和度为0的节点（计算时利用二叉树的性质）
• 完全二叉树：和同样深度的满二叉树中的节点位置相同
  

2.5 二叉树的性质（对比树度为2的情况，考试很重要）

• 树不为空时，第h层上至多有 2 h - 1 个节点（单层节点）
• 深度为h的二叉树至多有 2 h - 1 个节点（总节点）
• 叶子节点数=度为2的节点数+1（ N 0 = N 2 + 1 利用上面的三条公式推导）
• 含义N个节点的完全二叉树深度为 h = ⌈ log 2 N + 1 ⌉
• 具有N个节点的完全二叉树按层序编号i（1<=i<=N）：i>1 节点双亲节点编号为 ⌊ n 2 ⌋
• 2i<=N节点i的左孩子为2i或无左孩子、2i+1<=N节点i的右孩子为2i+1或无右孩子
• 性质5例子：
  

2.6 完全二叉树的性质（满二叉树是特殊的完全二叉树）

• 叶字节点只可能在最大两层上
• i <= n/2 是分支节点（i为下标，n为节点）
• i > n/2 是叶子节点（用于求完全二叉树的第一个叶子节点）
• 完全二叉树只可能有一个或没有度为1的节点，且该节点只有左孩子
• 按层序编号后，一旦出现某i节点为叶字节点，则大于该节点的均为叶字节点

对于完全二叉树，n为偶数:叶子节点的个数为n/2,n为奇数:叶子节点的个数为（n+1）/ 2

2.7 二叉树的存储结构

• 顺序存储：数组，适合存放完全二叉树和满二叉树（不会浪费空间）
  
• 链式存储：数据域，左孩子，右孩子
  

typedef struct BiTNode {
    ElemType data;
    struct BiTNode *lchild, *rchild;
}BiTNode, *BiTree;

重要结论：含有n个节点对的二叉链表含有n+1个空链域（利用空链域来组成线索链表）

2.8 二叉树的遍历（根的位置）

• 前序遍历：NLR
  
• 中序遍历：LNR
  
• 后序遍历：LRN
  
• 递归写法（打印操作在I II III位置为不同的遍历）

void Order(BiTree T) {
    if(T != NULL) {
        // Ⅰ 先序遍历
        Order(T->lchild);
        // Ⅱ 中序遍历
        Order(T->rchild);
        // Ⅲ 后序遍历
    }
}

2.9 线索二叉树（利用n个节点有n+1空指针）

• 二叉树结构多了两个标志位

typedef struct BiThrNode {
	char data;
	struct BiThrNode *lchild,*rchild;		
	PointerTag ltag;
	PointerTag rtag;
} BiThrNode,*BiThrTree;	

• 结点结构 : ltag lchild data rchild rtag
• ltag = 0 (左孩子) ltag = 1 (前驱结点)
• rtag = 0 (右孩子) rtag = 1 (后继结点)
• 对二叉树以某种次序遍历使其变成为线索二叉树的过程叫线索化
• 仿照线性表，线索链表上也加一个头结点（双向链表连接头尾）
• 目的：加快查找节点的前驱和后继的速度
  

2.10 二叉排序树（二叉查找树、二叉搜索树）

• 根节点的值大于其左子树中任意一个节点的值，小于其右节点中任意一节点的值，这一规则适用于二叉查找树中的每一个节点。
• BST（Binary Search Tree）的中序遍历就是升序
• 高度平衡二叉树：一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1。

3. 树与二叉树与森林

3.1 如何将一颗树转化为二叉树（二叉树转换成树反向操作即可）

• 将所有的兄弟节点连接起来
• 将每个节点的子树分支，从左往右，除第一个以外全部删除
• 以根节点为轴心，顺时针旋转45°得到二叉树
  

3.2 如何将森林转化为二叉树（二叉树转换成森林反向操作即可）

• 将每颗树转化成相应的二叉树
• 将步骤1中得到的各个二叉树的根节点看做是兄弟连接起来
  

3.3 树与二叉树的遍历

• 树的先序遍历=它的二叉树的先序遍历
• 树的后序遍历=它的二叉树的中序遍历
  

4.huffmanTree

4.1 huffmanTree基本概念

• 路径：从一个结点到另一个结点经过的所有节点
• 路径长度：从一个结点到另一个结点经过的所有的边的数量
• 结点的带权路径长度：树的根结点到该节点的路径长度和该点权重的乘积

如图1-1：H权重为3，从根节点到该节点的路径长度也为3，因此H结点的带权路径长度为 3*3=9

• 树的带权路径长度（WPL）：一颗树中所有叶子结点的带权路径长度之和，被称为树的带权路径长度

如图1-1：树的带权路径长度为 3 × 3 + 6 × 3 + 1 × 2 + 4 × 2 + 8 × 2 =53

• huffman树：叶子节点和权重确定的情况下，带权路径长度最小的二叉树，也称为最优二叉树

4.2 给定权重如何构造huffman树

• 将N个结点分别作为N颗含有一个结点的二叉树，构成森林F
• 构造一个新节点，并从F中选取两颗权值最小的书作为新结点的左右子树，并且将新及诶点的权值置为左右子树的权值之和
• 从F中删除刚才选出的两棵树，同时将新得到的树加入到F中
• 重复步骤2,3，直至F中只剩下一棵树为止

给定权重1,3,4,6,8构造huffmanTree，左侧权值最小为huffmanTree
原则上：权重小的节点远离树根，权重大的靠近树根

5.huffmanCode

5.1 huffmanCode基本概念

• 用于信息压缩采用不定长编码格式（比定长编码更节省空间）
• 根据给定信息中各个字符出现的频次，动态生成最优的编码

5.2 huffmanCode的生成过程

假如一段信息里只有A，B，C，D，E，F这6个字符，他们出现的次数依次是2次，3次，7次，9次，18次，25次，如何设计对应的编码呢？

• 1.根据权重生成huffmanTree，节点左分支为0，右分支为1
  
• 2.huffmanTree到每一个节点的路径，都可以等价为一段二进制编码（huffmanTreeCode）
  
• 3.叶子结点的权重对应字符出现的频次，结点的路径长度对应字符的编码长度
  

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树笔记终于写完了，我都快变树了
学习资源（感谢各位大佬）：
Bilibili：小甲鱼_数据结构C语言版（学校老师讲课太无聊了）
借鉴了一下三位大佬的笔记和图 Java修炼之路、 VictorWu、梦想橡皮擦