e^{ix} 的 conjugate value(复共轭)

正文

这里简单说明一下 $e^{ix}$ 的复共轭。

实数的复共轭

首先，我们知道，所谓复共轭是针对复数而言的。对于实数，我们知道，实数集被复数集包含。因此，实数也可以看作是一个复数，比如，对于实数 $x$，其复数形式为：
$$x+i\cdot 0\text{\hspace{1em}(1)}$$
复共轭的操作是对复数的虚数部分取相反数，实数部分保持不变。 因此，（1）中的复数的复共轭为：
$$x-i\cdot 0\text{\hspace{1em}(2)}$$
由于
$$x+i\cdot 0=x-i\cdot 0=x\text{\hspace{1em}(3)}$$
因此，实数的复共轭是它本身。

$e^{ix}$ 的复共轭

根据之前的说法，虚数 $i$ 的复共轭为 $-i$。

x 为实数：
$${\left(e^{ix}\right)}^{\ast }=e^{-ix}\text{\hspace{1em}(4)}$$
x 为虚数：
$${\left(e^{ix}\right)}^{\ast }=e^{-i{x}^{\ast }}\text{\hspace{1em}(5)}$$

推导

根据欧拉公式，我们给出（4）式详细地推导，
$$\begin{array}{rl}{\left(e^{ix}\right)}^{\ast }& ={\left(\cos x+i\sin x\right)}^{\ast }\\ & =\cos x-i\sin x\\ & =e^{-ix}\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
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