枚举及位运算

目录

1.基础枚举算法

2.整数枚举 

3.小数枚举

4.位运算 

5.二进制枚举

 

1.基础枚举算法

枚举是基于已有知识来猜测答案的一种问题求解策略。枚举所有可能是问题解的答案并进行判断。在算法竞赛中，枚举是一种基本的技巧，广泛运用于部分分和对拍。 

• 例题1：顺序查找

 

 代码实现

int pos=-1;
for(int i=1; i<=n; i++)if(a[i]==x){
    pos=i;
    break;
}

 使用循环i= 1→n依次判断a[i]是否等于数字x,若等于输出即可。由于我们从1开始循环，找到x后使用break关闭循环，这样保证我们输出的答案即为数字x第一次出现的位置。

• 例题2：顺序查找 

 

•  例题3：整数查找

2.整数枚举 

 上面一个例题的延伸：判断一个数是否为素数。我们知道，素数除了它自己和1没有别的约数，所以枚举一下哪些是它的约数就可以
了。

bool check(int x){
    for(int i=2;i

上面的代码可不可以优化-一下呢?我们发现约数是成对出现的，因此只需要枚举到√n即可。
 

bool check(int x){
    for(int i=2;i*i<=x;i++) if(x%i==0) return 0;
    return 1;
}

•  典例：

 3.小数枚举

4.位运算 

• 位与（&）运算 

 &运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 & 1的结果就是取二进制的最末位。这可以用来判断一个整数的奇偶，二进制的最末位为0表示该数为偶数，最末位为1表示该数为奇数。

•  位或（|）运算

|运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值，例如一个数 | 1的结果就是把二进制最末位强行变成1。如果需要把二进制最末位变成0，对这个数| 1之后再减一就可以了，其实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。

•  位异或（^）运算

^运算通常用于对二进制的特定一位进行取反操作，因为异或可以这样定义：0和1异或0都不变，异或1则取反。^运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即(a ^ b)^ b = a。

来一个简单的思考题 如何不借助中间变量 交换两个数呢？ 

void swap(int a, int b){
    a=a + b; b=a - b; a=a - b;
}
void swap(int a, int b){
    a=a ^ b; b=a ^ b; a=a ^ b;
}

• 位取反（~）运算

 ~运算的定义是把内存中的0和1全部取反。使用~运算时要格外小心，你需要注意整数类型有没有符号。最常见的用法是while(~scanf(“%d”,&n)){}

• 位左移（<<）运算 

a << b就表示把a转为二进制后左移b位（在后面添b个0）。例如100的二进制为1100100，而110010000转成十进制是400，那么100 << 2 = 400。可以看出，a << b的值实际上就是a乘以2的b次方，因为在二进制数后添一个0就相当于该数乘以2。通常认为a << 1比a * 2更快，因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作请尽量用左移一位来代替。定义一些常量可能会用到<<运算。你可以方便地用1 << 16 - 1来表示65535。很多算法和数据结构要求数据规模必须是2的幂，此时可以用<<来定义Max_N等常量。 

• 位右移（>>）运算 

和<<相似，a >> b表示二进制右移b位（去掉末b位），相当于a除以2的b次方（取整）。我们也经常用>> 1来代替整除 2，比如二分查找、堆的插入操作等等。想办法用>>代替除法运算可以使程序效率大大提高。最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢得出奇的求余运算，效率可以提高60%。 

• 位运算优先级别 

 位反（~ ) > 算术 > 位左移、位右移 > 关系运算> 位与 > 位或 > 位异或 > 逻辑运算

 5.二进制枚举

• 例题1

现在教室里有n个人，你需要选出一-些人来搬书，如何枚举所有的选法?考虑到一个人的选和不选就是-一个集合，因此把一一个人在不在集合内的情况抽象为0和1，枚举数字，拆分成二进制就可以了。但是这么写很繁琐，有没有更聪明的办法?

int all=(1<

• 例题 2：二进制子集枚举

for(int S1=S;S1!=0;S1=(S1-1)&S){  //S为全集，S1子集
    S2=S^S1;
}

我们发现是把子集按照从大到小的顺序枚举出来的。
       那么接下来我们来谈谈这样枚举的正确性。首先，一个集合它自己本身也是自己的一个集合。我们不难发现如果两个数a，b，a