R统计学(06): 负二项分布

前面我们介绍了多种离散型概率分布，大家可以点击下方链接来回顾：

• R统计学(01): 伯努利分布、二项分布

• R统计学(02): 几何分布

• R统计学(03): 超几何分布

• R统计学(04): 多项分布

• R统计学(05): 泊松分布

今天介绍另一个离散型概率分布：负二项分布(Negative binomial distribution)。在实际生活中，我们可以使用负二项分布描述某种机器在坏掉前，能够工作的天数的分布；某运动员在获取r个奖牌前失败次数的分布等等。

1. 定义

负二项分布也基于伯努利试验，其定义有下面两种形式：

• 在一系列伯努利试验中，失败次数到达指定次数时，成功次数的离散概率分布

• 在一系列伯努利试验中，成功次数到达指定次数（记为r）时，失败次数（记为k）的离散概率分布

这两种定义只是将“成功”和“失败”对调，其本质上没差别。由于R中相关函数都采用第二种形式，因此下面将以第二种形式为例。其概率质量函数为：

其中：

• k是失败的次数，为自变量，取值范围为0, 1, 2, 3, ...

• r是成功的次数，为固定值。当r=1时，负二项分布退化为几何分布

• p是伯努利试验成功的概率，失败概率则为1-p

在负二项分布的概率质量函数中，由于k+r次伯努利试验为独立同分布，每个成功r次、失败k次的事件的概率为。由于第r次成功一定是最后一次试验，所以应该在k+r-1次试验中选择k次失败，即组合数作为系数。

2. 性质

从负二项分布的概率质量函数可以看出，其概率分布依赖参数p和r。负二项分布的期望值和方差为：

3. R中的相关函数

R中也有四个函数可用于负二项分布，分别是：

• dnbinom(x, size, prob)：返回发生x次失败事件的概率

• pnbinom(q, size, prob)：返回累积概率

• qnbinom(p, size, prob)：返回相应分位点x，详情见下面的例子

• rnbinom(n, size, prob)：返回每组发生失败事件的次数

这四个函数都有size和prob，分别对应于成功次数r和成功概率p。下面通过一个例子来了解如何使用它们：

某位运动员打算获得4个冠军后退役，假设每次比赛夺冠的概率为0.8，求该运动员获得4个冠军前所经历失败次数的概率分布？

分析：从题意可知，这个过程可用负二项分布来描述，其中成功次数r=4，成功概率p=0.8。

结果：

下表给出了在运动员获得4个冠军前，发生0到6次失败的概率分布为：

从表格结果可以看出，该运动员至少经历一次失败的概率高达59%
(= 1-P(k=0))。

下面我们利用R中的函数来计算相关量：

第一个问题：在该运动员获得4个冠军前，发生0次，1次和2次失败的概率分别是多少？此时要用到dnbinom(x, size, prob)函数，其中x参数指定失败的次数，函数返回相应概率，结果为：

> dnbinom(0:2, 4, 0.8)
[1] 0.40960 0.32768 0.16384

第二个问题：至多发生2次失败的概率是多少？此时要用到pnbinom(x, size, prob)函数，其中q参数指定至多失败的次数（这里为2），函数返回相应累积概率，结果为：

> pnbinom(2, 4, 0.8)
[1] 0.90112

第三个问题：90%概率下该运动员至多失败几次？此时要用到qnbinom(x, size, prob)函数，其中p参数指定概率(这里是0.9)，函数返回相应分位点x(即F(x)≥0.9对应的最小x值)，结果为：

> qnbinom(0.9, 4, 0.8)
[1] 2

结果表明，90%概率下至多失败2次

最后一个问题：重复10万组模拟，每组失败的次数是多少？这时就要用到rnbinom(x, size, prob)函数，其中n参数指定模拟的组数(这里为100000)，函数返回每组发生的次数，结果为：

> set.seed(123)
> ns <- rnbinom(100000, 4, 0.8)
> table(ns)
ns
    0     1     2     3     4     5     6     7     8     9    10 
41123 32677 16291  6608  2295   714   208    60    16     6     2 

> mean(ns)   ##失败次数的平均值
[1] 0.99703
> var(ns)    ##失败次数的方差
[1] 1.246154

> 4*(1-0.8)/0.8  ##均值的理论值
[1] 1
> 4*(1-0.8)/0.8^2  ##方差的理论值
[1] 1.25

模拟10万组，41123组没有发生失败，与理论上40.96%不发生失败很接近。此外均值和方差也与理论值很接近。

负二项分布的介绍就到此结束，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持本公众号。

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