数学实验第三版（主编：李继成 赵小艳）课后练习答案（二）（2）

实验二：MATLAB软件绘图

练习二

1. 绘制下列函数的图形.

（1），（x,y）属于矩形区域[-2,2]* [-2,2]；

这里需要说明一点，对于（0,0,0）此点，在原函数中是一个nan，所以只需添加上一个（0,0,0）即可。

ezmesh('x*y/(x^2+y^2)',[-2,2])
hold on
plot3(0,0,0)

（2）

ezmesh('(1+x+y)^2',[-10,10])

（3）；

ezmesh('sqrt(x^2+y^2)',[-10,10])
xlabel('x轴')
ylabel('y轴')
zlabel('z轴')
axis auto

（4）绕z轴旋转得到的旋转曲面.

t=0:0.1:1;
r=t.^2+1;
figure(1)
[x,y,z]=cylinder(r,20);
mesh(x,y,z)
hold on
mesh(x,y,-z)
hidden off
xlabel('x轴')
ylabel('y轴')
zlabel('z轴') 

在这里我们特别地说明一下这个cylinder所产生的矩阵的特点，当我们令t为t=0:0.5:1时，我们看所产生的z矩阵是什么（在这里为了节省空间，我们取cylinder中的n为4）

0         0         0         0         0

0.5000    0.5000    0.5000    0.5000    0.5000

1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000

这个时候我们再令t=0:0.5:2，所产生的z矩阵为：

         0         0         0         0         0

    0.2500    0.2500    0.2500    0.2500    0.2500

    0.5000    0.5000    0.5000    0.5000    0.5000

    0.7500    0.7500    0.7500    0.7500    0.7500

1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000

我们发现此时的最大值并不为2，仍然是1，但是步长缩短了，变成了原来的一半了。

当我们令t=-1:0.5:1时，所产生的z矩阵仍和上面的一样，所以这时我们要是随便的取t的范围，所得到的并不是我们想要的图形。我们会发现不论t的范围为何值，所画的图形都是在（-1,1）范围内。所以如果你取的t范围在（0,1）之间，这时候的图形是不会画错的。

但是，如果我想要画更大范围内的图形该怎么办呢？

我认为应该 取t的范围在0到某个区间，末尾的值是k，在画图时要mesh（x,y,k*z）即可。（但不要忘了如果要看负区间的图形，我们要加上mesh（x，y，-k*z））

2 .分别用指令mesh,meshc ,meshz 绘制函数,在矩形区域[-8,8]×[-8,8]上的图形（可用help命令查找这些命令的用法）.

x=-8:0.01:8;
[X,Y]=meshgrid(x,x);
Z=sin(sqrt(X.^2+Y.^2))./sqrt(X.^2+Y.^2);
subplot(2,2,1) mesh(X,Y,Z)
subplot(2,2,2)
meshc(X,Y,Z)
subplot(2,2,3)
meshz(X,Y,Z)
hidden off
xlabel('x轴')
ylabel('y轴')
zlabel('z轴')

区别：mesh绘制的就是一个普通的网格图，而meshc绘制的是带有等高线的网格图（在底部），meshz绘制的是带有帷幕的网格图。

3.绘制下列空间区域图形

（1）由，围成；

x=-10:0.01:10;
y=x;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
zz=(xx.^2+yy.^2)/2;
m=find(zz<1);
zz(m)=nan;
surf(xx,yy,zz)
shading interp
hidden off
xlabel('x轴')
ylabel('y轴')
zlabel('z轴')

（2）由 ，围成；

t=0:0.01:2*pi;
x=1+cos(t);
y=sin(t);
z=sqrt(2.*x);
xx=[x;x];
yy=[y;y];
zz=[z;5.*ones(size(z))];
mesh(xx,yy,zz)
xlabel('x轴')
ylabel('y轴')
zlabel('z轴') 

我们来总结一下对于这种柱体的画法：首先，如果要是单纯的画一个柱体，我们直接用ezmesh或ezsurf搞定。但是如果要对该柱体进行裁剪修改，ezmesh就不太好处理了，我们需要进行创建数组或者矩阵并对其进行修改，这时我们要注意只需要确定两个截面上的点即可。以此题为例，我们只需要z=sqrt(2*x)这个截面和z=c（c为常数，且比较大）这两个面上的点即可。

（3）由围成；

t=0:0.05:2*pi;
x=cos(t);
y=0.5*sin(t);
z=1-x-y;
m=find(z<0);
z(m)=nan;
x(m)=nan;
y(m)=nan;
xx=[x;x];
yy=[y;y];
zz=[z;zeros(size(z))];
surfc(xx,yy,zz)
shading interp

（4）围成；

x=-5:0.01:5;
y=x;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
z1=sqrt(xx.^2+yy.^2);
zz=sqrt(abs(4-xx.^2-yy.^2));
zzz=zz;
xx(zzz

（5）由;

有点疑惑，这个区间到底是哪个？（恳求高人指点）

ezsurf('x+y')
hold on
ezmesh('0','y','z')
hold on
ezmesh('x','1','z')
hold on
ezmesh('0')
hold on 
ezmesh('x')

虽然这道题我们并没有完美的解决，但是这里我们要学会如何画一个简单的平面。

4. 在空间直角坐标系中画出球坐标系的三个基本坐标面：=常数，φ=常数，=常数.

首先，我们要对球坐标的三个基本平面有所了解。当ρ,θ或φ分别为常数时,可以表示如下特殊曲面:ρ= 常数，即以原点为心的球面；θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；φ= 常数，即过z轴的半平面。（一条直线将一个平面分为两部分，每一部分为一个半平面）

我们不妨以点（1，π/3，π/3）为例。

[x,y,z]=sphere(50);
z(z<0)=nan;
mesh(4*x,4*y,4*z)
hidden off
xx=[0;0;sqrt(3)];
yy=[0;0;3];
zz=[2;0;2];
hold on
fill3(xx,yy,zz,[0 0 0.8])
t=0:0.01:4;
r=sqrt(3).*t;
[x0,y0,z0]=cylinder(r,50);
hold on
mesh(x0,y0,4*z0)
axis equal

5. 在空间直角坐标系中画出两个球面和相交的图形.

显然，两球相交的面为一个平面：z=1；

ezmesh('1')

为了看的更清楚，我把两个球也画了上去。

6. 试用cylinder 命令绘制圆锥面、旋转椭球面和旋转抛物面。

t=0:0.01:2;
r=2*t;
[x,y,z]=cylinder(r);
subplot(2,2,1)
mesh(x,y,z)
R=sqrt(1-t.^2./4);
[xx,yy,zz]=cylinder(R);
subplot(2,2,2)
mesh(xx,yy,2*zz)
hold on
mesh(xx,yy,-2*zz)
axis equal
rr=sqrt(t);
[x0,y0,z0]=cylinder(rr);
subplot(2,2,3)
mesh(x0,y0,z0)

7. 画出下面的特殊函数的曲面，并观察极值点的个数

(1)Three-hump camel-back函数：,;

ezmesh('(2*x^2-1.05*x^4+x^6)/(6-x*y+y^2)',[-3,3])

axis auto

这个曲面的极值点个数为1。（不知道正确与否）

（2）Rastrigin函数：,;

ezsurf('x^2+y^2-cos(18*x)-cos(18*y)',[-1,1])

shading flat

极值点个数为121个。（这个结果显然不是数出来的，由于过于复杂，我使用了AI问答，他告诉我是121个，doge。）

8. 在直角坐标系中绘制球被圆柱面截得的部分曲面.

r = 0:0.01:1; 
t = 0 : 0.01 : 2*pi;
[r, t] = meshgrid(r, t);
x = 1 + r .* cos(t);
y = r .* sin(t);
z=sqrt(4-x.^2-y.^2);
mesh(x,y,z)
hold on
mesh(x,y,-z)

总结：画部分截面该如何画呢？以此题为例，首先，需要织一张网，这张网是这个截面在xoy上的 投影，那么如何去形成这个圆形的网格呢？需要用r和θ形成，然后再去形成z的矩阵即可。

9. 在直角坐标系中绘制球面与圆柱面, 和并用find命令将圆柱面中的球面部分或球面中的圆柱面部分“挖空”。

r = 0:0.01:2; 
t = 0 : 0.01 : 2*pi;
[r, t] = meshgrid(r, t);
x = r .* cos(t);
y = r .* sin(t);
m=find(x.^2+y.^2<1);
x(m)=nan;
y(m)=nan;
z=sqrt(abs(4-x.^2-y.^2));
m1=find(y.^2+z.^2<1);
y(m1)=nan;
z(m1)=nan;
m2=find(x.^2+z.^2<1);
x(m2)=nan; 
z(m2)=nan;
mesh(x,y,z)
hold on
mesh(x,y,-z)

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本答案均由作者自己编写，由于时间原因，难免出现些许错误，还请大家多多指正。