数学实验第三版（主编：李继成 赵小艳）课后练习答案（五）（1）（2）

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实验五：行列式、矩阵运算及其应用

练习一

练习二

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实验五：行列式、矩阵运算及其应用

练习一

1.（1）判定下列方程组是否有解，若有解求其基础解系和通解。

clc;clear;
a=[2 1 -1 1
   3 -2 1 -3
   1 4 -3 5];
b=[1;4;-2];
ab=[a,b];
if rank(a)~=rank(ab)
fprintf('该方程无解');
return;
else
%a的秩和ab的秩均为2,该方程有解
x1=null(a,'rational');
m1=x1(:,1);
m2=x1(:,2);
x2=rref(ab);
tj0=x2(:,5);
tj=[tj0;0];
end
syms c1 c2
x=c1*m1+c2*m2+tj

则该方程的解为：x =c1/7 + c2/7 + 6/7

                        (5*c1)/7 - (9*c2)/7 - 5/7

                                       c1

                                       c2;           (c1,c2均为任意实数)。

（2）

clc;clear;
a=[2 3 1 
   1 -2 4 
   3 8 -2 
   4 -1 9];
b=[4;-5;13;-6];
ab=[a,b];
if rank(a)~=rank(ab)
    fprintf('该方程无解');
    return;
else
%a的秩和ab的秩均为2,该方程有解
x1=null(a,'rational');
x0=rref(ab);
tj=x0(1:3,4);
end
syms c
x=c*x1+tj

则该方程的解为：x =- 2*c - 1

                                      c + 2

                                             c      (c均为任意实数)。

2.下列向量组是否线性相关？若相关求其秩和极大线性无关组，并用极大线性无关组表示其余的向量。

clc;clear;
a1=[25 31 17 43];
a2=[75 94 53 132];
a3=[75 94 54 134];
a4=[25 32 20 48];
a=[a1',a2',a3',a4'];
rank=rank(a)
%秩为3，小于向量组个数4，则这些向量组是线性相关的
zj=rref(a);              % 1     0     0    -2
                        					% 0     1     0     0
                        					% 0     0     1     1
                        					% 0     0     0     0
%由最简矩阵我们可以选择a1,a2,a3作为极大线性无关组。
%由此我们可以得知：a4=-2*a1+a3

3. 利用正交变换将二次型 化为标准形，并写出正交变换.

clc;clear;
a=[1 2 0
   2 2 -2
   0 -2 3];
format rat
[v,d]=eig(a)  %v*a*v^-1=d

x=v*y

f(y1,y2,y3)=-y1^2+2*y2^2+5*y3^2;

4. 求矩阵A= 的特征值及特征向量。

clc;clear;
a=[1 -1 2 -1
   -1 1 3 -2
   2 3 1 0
   -1 -2 0 1];
format rat
[v,d]=eig(a)  %v*a*v^-1=d

v =

     229/519       -342/1675     -1275/1531       238/899  

     704/1171       455/3594       708/1459      3451/5547 

    -362/637        710/1453      -810/3637       399/640  

     539/1550       593/707       -273/1867      -792/2017 

d =

    -477/128          0              0              0      

       0           2046/2173         0              0      

       0              0           1439/741          0      

       0              0              0           2746/567 

5. 设A是n阶方阵，且具有下面的分块形式

其中 , 分别是k k,(n-k) (n-k)主子矩阵，当 可逆时，称 为矩阵A关于 的舒尔(Schur )补，并且有

随机生成一个8×8矩阵，求出它的某一个可逆主子矩阵的舒尔补，验证上面的等式.

clc;clear;
a=rand(8);
a11=a(1:3,1:3);
a12=a(1:3,4:8);
a21=a(4:8,1:3);
a22=a(4:8,4:8);
det1=det(a);
det2=det(a11)*det(a22-a21*inv(a11)*a12);
det1
det2

det1 =

      99/2281 

det2 =

      99/2281

6. 编程验证西尔维斯特(Sylvester )等式：设A是一个n阶方阵，N={1,2,…,n},α,β⊂N,  ,用A[α , β ]表示矩阵A的行、列下标分别属于α 和β的子矩阵，特别地，当α=β 时，用A[α ]表示A[α,β ].用|α |=k表示集合α 所含元素的个数，定义一个新的(n-k)x(n-k)矩阵B= ,其中 =det(A[ , j ]),i,j∈N\α ,此时对于任意的 , = =m,有

该式称为西尔维斯特等式

此题的定义在后几行觉得有点看不懂，大家对此题有没有什么看法呢？欢迎评论区或私信讨论！

练习二

1.在实验示例4中是将信息链转化成一个4×5矩阵后进行加密的，能不能转化成其他阶数的矩阵进行加密、解密呢？要是可以，当转化成1×n矩阵时，加密、解密有什么优缺点？

可以将其转化成一些其他规格的矩阵进行加密和解密。

若将其转化成1*n的矩阵，优点在于将其加密之后仍为一维数组，占用空间小，便于传输；

缺点在与加密锁为一个数，密码过于简单，容易破解。

2.每个英文字母和各个单词间的间隔符都用相应的ASCII 码代替，使用逆矩阵加密、解密的方法对信息链“Diligence is the mother of success ”采用不同大小的“加密锁”对其进行加密、解密实验.

clc;
clear;
a=[68 105 108 105 103 101 110 99 101 32 105 115 32 116 104 101 32 109 111 116 104 101 114 32 111 102 32 115 117 99 99 101 115 115 0];
m=reshape(a,5,7);
j=rand(5);
while det(j)==0
    j=rand(5);
end
after=j*m;
before=inv(j)*after;
before1=reshape(before,1,35);
before1(:,1:34)

3.通过这种简单的加密、解密方法的学习，你对哪些数学概念有了更加深刻的认识？

略

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本文由作者自创，由于时间仓促，难免出现一些错误，还请大家多多批评指正。创作不易，希望大家多多点赞关注支持！