数学实验第三版（主编：李继成 赵小艳）课后练习答案（六）（1）

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实验六：矩阵特征值与迭代法

练习一

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实验六：矩阵特征值与迭代法

练习一

1. 已知矩阵A= ,向量 = ,构造迭代

,k=1,2,3,…

(1) 计算矩阵A的特征值及谱半径；

clc;clear;
a=[0,1;1,1];x0=[1;1];
tzz=eig(a);pbj=max(abs(tzz));
disp(tzz);disp(pbj);

tzz=-0.6180  1.6180

pbj=1.6180

(2) 检查向量序列 是否收敛？它的分量序列有何特点？

(3）将向量序列 画出，看看随迭代次数的逐渐增加，向量序列点如何分布？

x=[];x1=[];
for i=1:10
    x0=a*x0;
    x=[x,norm(x0)];
    x1=[x1,x0];
end
x1
figure(1)
plot(x);
figure(2)
plot(x1(1,:),x1(2,:),'.',x1(1,:),x1(2,:))

x1 =

     1     2     3     5     8    13    21    34    55    89

     2     3     5     8    13    21    34    55    89   144

我们观察向量序列x发现：该序列并不收敛，它的分量序列的第一列和第二列均为类斐波拉切数列。

（4）计算向量序列 前后分量比值你会发现什么结论？与迭代矩阵的谱半径有何关系？

m1=[];m2=[];
for i=1:9
   q1=x1(1,i+1)/x1(1,i);
   m1=[m1,q1];
   q2=x1(2,i+1)/x1(2,i);
   m2=[m2,q2];
end
disp(m1);disp(m2);

m1=2.0000    1.5000    1.6667    1.6000    1.6250    1.6154    1.6190    1.6176    1.6182

m2=1.5000    1.6667    1.6000    1.6250    1.6154    1.6190    1.6176    1.6182    1.6180

我们发现该分量比值趋近于谱半径。

（5）将迭代矩阵换成矩阵A的逆矩阵，重复(1)一(4)的实验过程，对比分析后你能得出什么 结论？

clc;clear;
a1=inv([0,1;1,1]);x0=[1;1];
tzz=eig(a1);pbj=max(abs(tzz));
disp(tzz);disp(pbj);
x=[];x1=[];
for i=1:10
    x0=a1*x0;
    x=[x,norm(x0)];
    x1=[x1,x0];
end
x1
figure(1)
plot(x);
figure(2)
plot(x1(1,:),x1(2,:),'.',x1(1,:),x1(2,:));
m1=[];m2=[];
for i=1:9
   q1=x1(1,i+1)/x1(1,i);
   m1=[m1,q1];
   q2=x1(2,i+1)/x1(2,i);
   m2=[m2,q2];
end
disp(m1);disp(m2);

tzz=-1.6180  0.6180

pbj=1.6180

x1 =

     0     1    -1     2    -3     5    -8    13   -21    34

     1     0     1    -1     2    -3     5    -8    13   -21

m1=

       Inf   -1.0000   -2.0000   -1.5000   -1.6667   -1.6000   -1.6250   -1.6154   -1.6190

m2=

         0       Inf   -1.0000   -2.0000   -1.5000   -1.6667   -1.6000   -1.6250   -1.6154

经过对比我们发现当A矩阵变为其逆时，谱半径不变，向量长度不变，向量分量变为了1-2=3的形式，向量分量前后之比趋近于谱半径的相反数。

2. 已知矩阵

在正方形区域 内随机选取不同的非零向量作为初始向量 ,构造迭代

生成向量序列 .

(1) 在同一坐标系上画出迭代向量序列的图形，观察向量的分布规律，你能得出什么结论？

clc;clear;
b=[1/5,99/100;1,0];
x1=2.*rand(2,1)-1;
m1=[];
for i=1:30
    x1=b*x1;
    m1=[m1,x1];
end
figure(1)
plot(m1(1,:),m1(2,:),'*',m1(1,:),m1(2,:));

我们通过观察该图发现，随着迭代次数的增多，点逐渐分布在一条直线周围，震荡幅度逐渐变小。

（2）编程计算比值序列 , 和 ,你发现了什么？

n1=[];n2=[];n3=[];
for i=1:29
    k1=m1(2,i)/m1(1,i);
    n1=[n1,k1];
    k2=m1(1,i+1)/m1(1,i);
    n2=[n2,k2];
    k3=m1(2,i+1)/m1(2,i);
    n3=[n3,k3];
end
n1,n2,n3

n1 =

  列 1 至 10

   -0.2509  -20.6532   -0.0494    6.6180    0.1481    2.8849    0.3272    1.9086    0.4786    1.4841

  列 11 至 20

    0.5991    1.2609    0.6905    1.1318    0.7573    1.0529    0.8049    1.0032    0.8381    0.9711

  列 21 至 29

    0.8610    0.9502    0.8767    0.9364    0.8873    0.9273    0.8944    0.9212    0.8993

n2 =

  列 1 至 10

   -0.0484  -20.2467    0.1511    6.7518    0.3466    3.0561    0.5239    2.0895    0.6738    1.6693

  列 11 至 20

    0.7931    1.4483    0.8836    1.3205    0.9497    1.2424    0.9968    1.1931    1.0297    1.1614

  列 21 至 29

    1.0524    1.1407    1.0679    1.1271    1.0784    1.1180    1.0855    1.1120    1.0903

n3 =

  列 1 至 10

   -3.9852   -0.0484  -20.2467    0.1511    6.7518    0.3466    3.0561    0.5239    2.0895    0.6738

  列 11 至 20

    1.6693    0.7931    1.4483    0.8836    1.3205    0.9497    1.2424    0.9968    1.1931    1.0297

  列 21 至 29

1.1614    1.0524    1.1407    1.0679    1.1271    1.0784    1.1180    1.0855    1.1120

第一个序列趋近于0.9，第二和第三个序列趋近于1.

3.已知矩阵A及向量x0如下：

(1)求矩阵A的特征值、特征向量和谱半径；

clc;clear;
a=[3,-1,-1;-12,0,5;4,-2,-1];
x0=[1;1;1];
[tzxl,tzz]=eig(a)
pbj=max(max(abs(tzz)))

tzxl =

    0.4082    0.3906    0.3333

   -0.4082   -0.1302    0.6667

    0.8165    0.9113    0.6667

tzz =

    2.0000         0         0

         0    1.0000         0

         0         0   -1.0000

pbj =2.0000

（2）编程完成迭代

,k=1,2,3,…

观察迭代产生的向量序列的分布规律。

m=[];
for i=1:100
    x0=a*x0;
    m=[m,x0];
end
plot3(m(1,:),m(2,:),m(3,:),'*',m(1,:),m(2,:),m(3,:));

随着迭代次数的增加，逐渐分布在一条线上。

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