代码随想录算法训练营第四十一天 | 343. 整数拆分、96.不同的二叉搜索树

题目链接：343. 整数拆分

文章讲解：代码随想录 343. 整数拆分讲解

视频讲解：动态规划，本题关键在于理解递推公式！| LeetCode：343. 整数拆分

思路和解法

题目：
给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。
想法：
今天的两道题目难度很大。相同特点是需要两层循环，第一层是填写dp数组的循环，第二层是和递推公式相关的。

class Solution {
public:
    //动规五部曲
    //1、确定dp数组及下标含义 dp[i]:拆分数字i可以获得的最大乘积
    //2、递推公式 如何拆分数字i，那就从1开始拆，假设j从1开始遍历，剩下的i-j如何拆分，起始最大乘积就是dp[i-j]
    //但是举例看一下，因为拆的话就一定是至少拆成2个数字，5必须拆才大，4拆不拆都一样，3不拆最大，2不拆最大，比5大的数字一定拆了大
    //所以i-j要不要拆，其实我认为是i-j小于等于3时就不要拆，反之要拆
    //讲解里每次都计算i*(i-j)和i*dp[i-j]然后比较，我这样想就相当于自己提前算好了拆不拆的情况
    //3、初始化 这个思考也需要举例才行，由于给定的n>=2，所以dp[2]一定初始化为1（dp[i]是一定要拆i），
    //dp[3]就可以开始从前面计算了，j从1开始遍历，3-1=2，dp[2]已经有了，3-2=1，1是不拆的
    //所以初始化dp[2]即可，i从3开始填写dp数组，最后其实i-j<=3时就填 dp[i] = i * (i-j) 反之填i*dp[i-j]，
    //因为最后要取最大值，所以都要和原来的dp[i]作比较 取最大值
    //4、遍历方式 从i=3开始向后遍历即可
    //5、举例
    int integerBreak(int n) {
        //下标i代表拆分数字i 所以给n 要让下标达到n，就需要建立n+1的数组
        vector<int> dp(n + 1);
        //初始化
        dp[2] = 1;
        //开始填写dp数组
        for (int i = 3; i < n + 1; i++) {
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                //实践证明 我自己的思考没错，但是这里自己写的时候写错了，写成了i * (i - j)，其实是j从1开始遍历
                if (i - j <= 3) {
                    dp[i] = max(dp[i], j * (i - j));
                } else {
                    dp[i] = max(dp[i], j *dp[i - j]);
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

题目链接：96.不同的二叉搜索树

文章讲解：代码随想录 96.不同的二叉搜索树讲解

视频讲解：动态规划找到子状态之间的关系很重要！| LeetCode：96.不同的二叉搜索树

思路和解法

题目：
给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

class Solution {
public:
//核心思路：以n=3思考会发现头节点可以为1、2、3，由于是二叉搜索树，所以左右子树的布局会简化，
//例如1，左子树为空对应n=0的情况，右子树有两个数，和n=2的情况是一样的树结构，因此可以产生递推关系
    //动规五部曲
    //1、确定dp数组及下标含义 dp[i]:n=i有几种二叉搜索树
    //2、递推公式 给定n时，头节点可以选为1~n的任意一个 所以有n个数相加 选哪个为头节点用j遍历
    //j遍历过程中，dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j] 左子树和右子树种类累加到一起 注意左右子树种类数之间是相乘关系
    //3、初始化 dp[0] = 1
    //4、遍历顺序 从前向后遍历
    //5、举例
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};