想起了25年前的比赛题目

这两天，Richard在做一个练习，遇到一个天平称重的经典题目：“最少用多少个砝码，就可以称出1-100g之间的所有整数重量?”

Richard给我说“如果砝码只能放天平的右侧，就是2进制，如果砝码可以放天平的左右两侧，就是3进制，

所以放一边，我最少需要1，2，4，8，16，32，64，7个砝码；

如果是放两边，我最少需要1，3，9，27，81，5个砝码。”

我笑了笑说：“嗯，如果单纯做出这道题，你这个思路没问题，但是这是唯一解吗？如果我把100换成n, n满足什么条件的时候，才有唯一解呢？”

Richard想了想说：“爸爸，这肯定是多个解的，比如我将64换成63，也是一组解。”

我猜n一定是要等于1+3²+3³..这样的，但是我不知道如何证明，爸爸，你知道如何证明吗？”

嗯，我确实知道，因为25年前，也就是1999年，我们伟大祖国50年华诞后，我第一次参加了高中数学联赛，本次联赛二试的第3题是这样的：

题目

三、(满分50分)给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，3，…，n克的所有物品.

（1）求k的最小值f (n)；

（2）当且仅当n取什么值时，上述f (n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论.

当年联赛的压轴题，也正是因为我完成了这道题，我第1次获得了省赛的证书，当年还是蛮开心的。不过我99年的1试确实没考好，导致没有进入省队参加CMO，至于2000年的联赛和CMO故事，以后有机会再讲。