试题 C: 冶炼金属

试题 C: 冶炼金属

时间限制:  1.0s      内存限制:  256.0MB      本题总分： 10 分

【问题描述】

小蓝有一个神奇的炉子用于将普通金属 O 冶炼成为一种特殊金属 X。这个 炉子有一个称作转换率的属性 V ，V 是一个正整数， 这意味着消耗 V 个普通金 属 O 恰好可以冶炼出一个特殊金属 X，当普通金属 O 的数目不足 V 时， 无法 继续冶炼。

现在给出了 N 条冶炼记录， 每条记录中包含两个整数 A 和 B，这表示本次 投入了 A 个普通金属 O，最终冶炼出了 B 个特殊金属 X。每条记录都是独立 的，这意味着上一次没消耗完的普通金属 O 不会累加到下一次的冶炼当中。

根据这 N 条冶炼记录， 请你推测出转换率 V 的最小值和最大值分别可能是 多少，题目保证评测数据不存在无解的情况。

【输入格式】

第一行一个整数 N，表示冶炼记录的数目。

接下来输入 N 行，每行两个整数 A 、B，含义如题目所述。

【输出格式】

输出两个整数，分别表示 V 可能的最小值和最大值，中间用空格分开。

【样例输入】

3

75 3

53 2

59 2

【样例输出】

20 25

【样例说明】

当 V = 20 时， 有： ⌊ 2(7)0(5)⌋ = 3 ， ⌊ 2(5)0(3)⌋ = 2 ， ⌊ 20(59)⌋ = 2，可以看到符合所有冶炼

记录。

当 V = 25 时， 有： ⌊ 2(7)5(5)⌋ = 3 ， ⌊ 2(5)5(3)⌋ = 2 ， ⌊ 25(59)⌋ = 2，可以看到符合所有冶炼

记录。

且再也找不到比 20 更小或者比 25 更大的符合条件的 V 值了。

【评测用例规模与约定】

对于 30% 的评测用例， 1 ≤ N ≤ 102。

对于 60% 的评测用例， 1 ≤ N ≤ 103。

对于 100% 的评测用例， 1 ≤ N ≤ 104 ，1 ≤ B ≤ A ≤ 109。

一、信息

1.炉子将普通金属 O 冶炼成为一种特殊金属 X。

2.炉子有一个称作转换率的属性 V ，V 是一个正整数

3.这意味着消耗 V 个普通金 属 O 恰好可以冶炼出一个特殊金属 X。

4.现在给出了 N 条冶炼记录， 每条记录中包含两个整数 A 和 B，这表示本次 投入了 A 个普通金属 O，最终冶炼出了 B 个特殊金属 X。

5.每条记录都是独立 的，这意味着上一次没消耗完的普通金属 O 不会累加到下一次的冶炼当中。

6.根据这 N 条冶炼记录， 请你推测出转换率 V 的最小值和最大值分别可能是多少，题目保证评测数据不存在无解的情况。

7.【输入格式】

第一行一个整数 N，表示冶炼记录的数目。

接下来输入 N 行，每行两个整数 A 、B，含义如题目所述。

8.根据这 N 条冶炼记录， 请你推测出转换率 V 的最小值和最大值分别可能是 多少，题目保证评测数据不存在无解的情况。

二、分析

条件1：告诉我们一个化学反应O到X的化学反应 我的分析：我认为其实就是简单告诉我们有这个转化关系

条件2：告诉我们V是转化率也是正整数 我的分析：题目就是在告诉我们可以用int装V

条件3：说明V个金属O恰好可以冶炼处一个特殊金属X：在我看来其实就是对O除以转化率这样就能算出这么多金属O可以转化成多少个金属X 我的分析：如果是这样的话我们观察二者的数量关系，不难想到用O的数量除以它的转化率V这样就可以模拟题目给出的这种反应了。

条件4：告诉我们有记录 我的分析：其实就是在向我们表明我们可以通过它的例子分析出V的最大最小值到此处我有了基本思路：暴力法我们可以枚举V从1到A这样的话我们通过循环和选择结构筛选出符合记录要求的V然后找出他们的最大最小值，这里问题就出现了该选择哪种排序方式呢？先选择最简单的一种选择排序。

条件5：就是告诉我每次的都是独立的

条件6：推测其实就是找满足条件V的最大值和最小值

三、步骤

第一步 定义三个变量 分别用来存储(就是装景区)N(样例个数) A(就是材料O的数量) B（生成V的个数）这里用整型变量因为这三个变量根据题意都不可能是小数。

第二步 输入N然后把N赋给循环变量i这样就能实现N次输出了这是之前大一学的技巧

第三步 开始用j循环来模拟V从1到A，

第四步 循环体里加入if语句用来判断是否满足上面N个案例的V这样问题又出现了由于写If语句前N是未知的那又该如何判断条件呢？如果解决了上述问题，首先会出现满足条件的V那么问题来了，我们有两条路可走第一条就是每次找到满足条件V后就放入vector数组中，然后通过选择排序找出最大最小值。

第五步 输出

四、实现过程中遇到的问题

五、实现过程

我的答案：

#include 
#include 
using namespace std;

int main() {
    int n, a, b;
    cin >> n;
    vector> records(n);
    int maxA = 0;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a >> b;
        records[i] = {a, b};
        maxA = max(maxA, a);
    }

    int minV = maxA, maxV = 1;
    for (int V = 1; V <= maxA; V++) {
        bool isValid = true;
        for (auto& rec : records) {
            int A = rec.first, B = rec.second;
            if (!(B <= A / V && A / V < B + 1)) {
                isValid = false;
                break;
            }
        }
        if (isValid) {
            minV = min(minV, V);
            maxV = max(maxV, V);
        }
    }

    if (minV <= maxV) {
        cout << minV << " " << maxV << endl;
    } else {
        cout << "No valid V found" << endl;
    }

    return 0;
}

我的思路是暴力枚举没有实现。

正确答案一：

一、信息

1. 题目描述：通过一系列冶炼记录，计算将普通金属 O 转化为特殊金属 X 的转化率 V 的可能最小值和最大值。
2. 记录格式：每条记录包含两个整数 A 和 B，表示投入 A 个 O，得到 B 个 X。
3. 记录独立：每次冶炼是独立的，之前的剩余 O 不会累积到下一次冶炼中。
4. 输出要求：根据这些记录，确定转化率 V 的最小和最大可能值。

二、分析

1. V 的范围：对于每个 A 和 B 的组合，V 必须满足条件使得 B ≤ A/V < B + 1。这意味着 A/B ≤ V < A/(B - 1)。
2. 最小值和最大值：
   • 最小值：应为所有 A/(B + 1) 的最大值，考虑整数除法的下取整特性。
   • 最大值：应为所有 A/B 的最小值。
3. 边界处理：由于整数除法的下取整特性，最小值需要加一以确保满足所有记录的要求。

三、算法设计

1. 初始化：读取记录数 N，然后初始化最大和最小转化率 Max 和 Min。
2. 处理第一条记录：读取第一条记录的 A 和 B，设定 Max = a/b 和 Min = a/(b+1)。
3. 处理剩余记录：对于每条后续记录，更新 Max 和 Min 的值。
4. 输出结果：输出 Min + 1 和 Max。

四、代码实现（用C++）

#include 
using namespace std;

int main() {
    int n, a, b;
    cin >> n;
    cin >> a >> b;
    int Max = a / b;
    int Min = a / (b + 1);

    while (--n) {
        cin >> a >> b;
        Max = min(Max, a / b);
        Min = max(Min, a / (b + 1));
    }
    
    cout << Min + 1 << " " << Max;
    return 0;
}

五、实现代码过程中可能遇到的问题

1. 整数除法的特性：由于整数除法自动向下取整，因此计算 Min 时需要谨慎处理。
2. 边界情况处理：需要确保处理的是所有可能的记录，包括极端情况。
3. 性能考量：虽然此问题不涉及复杂算法或数据结构，但在处理大量数据时，效率仍然重要。
4. 数据类型：考虑到 A 和 B 的大小，使用 int 类型通常足够，但在更大的数据范围内，可能需要使用 long long 类型以避免溢出。

官方题解：

官方题解分析

官方题解采用了更为简洁和直接的方法来解决这个问题。让我们一步步分析这个解法：

一、信息

• 题目描述：通过 N 条冶炼记录，确定转换率 V 的最小值和最大值。
• 记录格式：每条记录包含两个整数 A 和 B，表示 A 个普通金属 O 转换成 B 个特殊金属 X。
• 输出要求：计算出 V 的可能最小值和最大值。

二、分析

• V 的范围：对于每条记录，转换率 V 必须满足 B ≤ A/V < B + 1，导致 A/(B + 1) < V ≤ A/B。
• 最小值和最大值计算：
  • 最小值（mn）：取所有记录的 A/(B + 1) 向上取整的最大值。
  • 最大值（mx）：取所有记录的 A/B 的最小值。
• 整数除法特性：考虑到整数除法的向下取整特性，计算最小值时需要在 A/(B + 1) 的基础上加一。

三、算法设计

1. 初始化：设置最小值 mn 为 0，最大值 mx 为 1e9（一个非常大的数）。
2. 处理每条记录：对于每条记录，更新 mn 和 mx。
   • mn 更新为 mn 和 (a / (b + 1)) + 1 的较大值。
   • mx 更新为 mx 和 a / b 的较小值。
3. 输出结果：输出最终计算得到的 mn 和 mx。

四、代码实现（用C++）

#include 
using namespace std;

int main() {
    int n, a, b;
    cin >> n;
    int mn = 0, mx = 1e9;
    while (n--) {
        cin >> a >> b;
        mn = max(mn, (a / (b + 1)) + 1);
        mx = min(mx, a / b);
    }
    cout << mn << " " << mx;
}

五、实现代码过程中可能遇到的问题

1. 初始化值的选择：初始化 mn 和 mx 的值对于算法的正确性至关重要。mn 初始化为 0 是安全的，因为它一定会被任何有效的冶炼记录所更新。mx 初始化为一个极大值（如 1e9）是为了保证它能被实际的冶炼记录所更新。
2. 边界条件处理：确保加一操作（(a / (b + 1)) + 1）正确处理整数除法的下取整特性。
3. 数据类型：在本题中，使用 int 类型足以处理题目中给出的数据范围。
4. 性能：该算法的时间复杂度主要取决于记录数 N，对于每条记录，只进行常数次操作，因此非常高效。

六、总结

学到了什么？

1. 理解问题的重要性：首先彻底理解问题的每一个细节至关重要。这包括理解问题的输入输出格式、每个参数的含义以及问题的约束条件。

2. 算法效率：这个问题明显展示了不同算法效率的差异。暴力枚举虽然直观，但效率低下，特别是在大数据集下。更高效的算法（如通过直接计算极值）可以显著提高程序的性能。

3. 边界情况处理：这个问题强调了考虑和处理边界情况的重要性。例如，处理整数除法时的向下取整问题，以及如何处理特殊情况（如 B = 1）。

4. 数学思维在算法设计中的作用：这个问题需要一定的数学技巧来推导出转换率 V 的可能范围，展示了数学思维在算法设计中的重要性。

5. 代码优化：通过比较不同的解决方案，我们可以学习到如何优化代码，使其更简洁、高效和易于理解。

6. 数据类型和溢出问题：在处理大数字时，选择合适的数据类型非常重要，以避免溢出问题。

7. 测试和验证：这个问题强调了测试和验证你的算法对于各种输入的重要性，特别是极端和边界情况。

8. 实际应用中的选择：在实际的软件开发中，选择合适的算法不仅要考虑执行效率，还要考虑代码的可读性和可维护性。

总之，这个问题不仅测试了编程和算法设计的技能，也提供了一个很好的实践例子，展示了如何结合数学知识、逻辑思维和编程技能来解决复杂问题。

 犯了什么错？

1. 误解题意：在第一次回答中，我对题目的理解有误，尤其是对如何计算转换率 V 的最小值和最大值的过程。我没有正确地识别和应用题目中给出的关于 V 的计算方法，这导致了错误的解决方案。

2. 算法设计错误：在第一次回答中，我提供的算法设计和代码实现没有准确地遵循题目的要求，尤其是在处理整数除法和求解最小和最大转换率时。我没有正确地应用 A/(B + 1) 和 A/B 之间的关系来确定 V 的范围。这导致了一个不准确的算法设计和不符合题目要求的代码实现。

在第二次回答中，我提出了暴力枚举的方法，这虽然理论上可以解决问题，但没有考虑到算法的效率问题，在处理大规模数据时容易导致超时。这反映了我在算法效率和实际应用性方面的考虑不足。

这些错误表明在解决问题时，准确理解问题的每个细节和制定合适的算法策略是多么重要。同时，这也强调了在算法设计中需要考虑实际应用中的性能问题，特别是在处理可能的大数据集时。此外，这也提醒了在提供解决方案时要充分验证和测试算法，以确保其正确性和高效性。

暴露了我们什么不足？

1. 深入理解问题：

   • 不足：在回答问题时，没有完全理解题目的细节和核心要求，导致解决方案偏离了正确的方向。
   • 改进：在解决问题之前，应该花更多时间仔细分析和理解题目，包括所有的输入、输出要求和约束条件。可以通过归纳总结、列举示例或绘制图表等方式帮助深入理解。

2. 算法选择和效率考虑：

   • 不足：在提出解决方案时，未能选择最合适的算法，没有充分考虑算法的效率和实际应用性。
   • 改进：在设计算法时，应该考虑不同方法的时间复杂度和空间复杂度，选择最优化的解决方案。同时，也需要考虑算法的可扩展性和在大数据集下的表现。

3. 数学和逻辑能力：

   • 不足：未能准确应用数学知识和逻辑推理来解决问题，尤其是在处理与整数除法相关的逻辑时。
   • 改进：加强数学基础和逻辑推理的训练，可以通过研究类似问题、做数学相关的练习或参加逻辑训练课程来提高这方面的能力。

4. 细节关注和精确性：

   • 不足：在解决问题时，对细节的关注不够，导致解决方案中出现了不精确或错误的地方。
   • 改进：在处理任何问题时，都要对细节保持高度敏感。可以通过练习精确阅读、逐步解决问题、检查和复查工作来提高对细节的关注。

5. 测试和验证：

   • 不足：在提供解决方案时，未能充分测试和验证算法的正确性和效率。
   • 改进：开发完算法后，应进行充分的测试，包括极端情况、边界情况和大数据集的测试。可以使用单元测试、代码审查和性能分析等方法来验证算法。

6. 学习和适应能力：

   • 不足：在遇到新问题或不熟悉的问题时，解决方案可能不够成熟或适应性不强。
   • 改进：持续学习新知识和技能，特别是在算法和编程领域。保持好奇心和适应性，对新问题保持开放和灵活的思维方式。

总之，通过深入理解问题、选择合适的算法、加强数学和逻辑能力、关注细节、进行充分测试和保持持续学习，可以有效地提升问题解决能力和思考方式。

从这道题目中我们能学到什么数学思想和数学方法和数学处理技巧（比如把下取整去掉等式变不等式）

后面会用电脑的白板演示一波但是先凑合看，我后面会对文章进行迭代升级。

1. 整数除法和下取整的处理：

   • 在这个问题中，需要处理整数除法的下取整特性。例如，为了找到符合条件的最小 V，需要从 A/(B + 1) 的结果中向上取整。在数学处理上，这可以表示为 A/(B + 1) 后再加 1。这是一种常见的处理整数除法下取整的方法。

2. 不等式的应用：

   • 题目涉及到通过不等式来约束变量的值。特别是在确定 V 的最小值和最大值时，需要使用不等式 A/B ≤ V < A/(B - 1)。在数学上，这涉及到对不等式的理解和应用，以及如何从一组不等式中提取有用信息。

3. 边界条件的处理：

   • 在处理数学问题时，边界条件的处理非常关键。例如，对于 B = 1 的情况，需要特殊处理，因为在这种情况下 A/(B - 1) 会导致除以零的错误。在数学上，这要求对问题的边界条件有清晰的认识和适当的处理。

4. 极值的寻找：

   • 这个问题要求找到一系列条件下的最小值和最大值。这在数学上是一种常见的问题，需要对一系列数学表达式进行分析，以确定满足所有条件的极值。

5. 数学推理和逻辑思维：

   • 解决这个问题需要一定的数学推理能力，特别是在将问题的文字描述转化为数学表达式时。这涉及到理解和应用基本的数学和逻辑原理。

6. 数学化简和转换：

   • 在处理复杂问题时，将复杂的问题转化为更简单或更易于处理的形式是一种重要的数学技巧。例如，通过将下取整操作转换为不等式，可以更容易地分析和求解问题。

综上所述，这道题目不仅是对编程技能的挑战，也是对数学思想、方法和处理技巧的练习，特别是在整数除法、不等式处理、边界条件分析和极值寻找等方面。通过这样的问题，可以加深对这些数学概念的理解，并提高解决实际问题时的应用能力。