动态规划解决棋盘覆盖问题：一步步教你理解

从简单到复杂：理解动态规划通过矩形覆盖问题

动态规划是解决各种算法问题的一种强大方法，特别是当问题可以分解成重叠的子问题时。为了深入理解这个概念，我们将先从一个简单的矩形覆盖问题开始，然后逐步过渡到更复杂的二维棋盘覆盖问题。

简单问题：用2x1的小矩形覆盖2xn的大矩形

假设我们有无数个 2x1 的小矩形，我们想要用这些小矩形去覆盖一个 2xn 的大矩形。我们想知道有多少种不同的覆盖方式。

题目链接：矩形覆盖_牛客题霸_牛客网 (nowcoder.com)

解题思路

这个问题实际上是一个斐波那契数列问题。我们可以发现：

• 当 n=1 时，只有一种覆盖方式。

• 当 n=2 时，有两种覆盖方式。

• 对于 n>2，考虑第一个小矩形的放置方式：如果横放，剩下的部分是 2x(n-1) 的矩形；如果竖放，那么因为矩形的宽度是2，我们必须再竖放一个小矩形在旁边，剩下的部分是 2x(n-2) 的矩形。因此，总的覆盖方式数 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

代码实现

public int rectCover(int n) {
    if (n <= 1) return n;
    int a = 1, b = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        int temp = a + b;
        a = b;
        b = temp;
    }
    return b;
}

这段代码使用了斐波那契数列的性质来求解问题，其中 a 和 b 分别存储了 f(n-2) 和 f(n-1) 的值。

复杂问题：棋盘覆盖问题

现在，让我们将问题扩展到二维。假设我们有一个 N x M 的棋盘，我们想用 1x2 的矩形以不重叠的方式完全覆盖整个棋盘。这个问题相较于之前的问题，增加了一个维度，使得问题变得更加复杂。

题目链接：291. 蒙德里安的梦想 - AcWing题库

理解动态规划

在深入问题之前，让我们先简单回顾一下动态规划的核心思想。动态规划是一种将问题分解为较小子问题&