算法分析思维分析，以循环赛日程表为例

第一步：分治法的简单思想

在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)等等。

任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。 　　n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。 　　而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。 　　分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。 　　分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

第二步：分治法的理论基础

如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n ，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。 　

　

2.1分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征： 　　

1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决 　　

2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。 　

3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解； 　　

4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。 　　上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。 　　

 

2.2分治法的基本步骤 　　

分治法在每一层递归上都有三个步骤： 　　

分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题； 　　

解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。 　　

它的一般的算法设计模式如下： 　　

Divide-and-Conquer(P) 　　

1）if |P|≤n0 　　

2）then return(ADHOC(P)) 　　

3）将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk 　　

4）for i←1 to k 　　

5）do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi 　　

6）T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题 　　

7）return(T) 　　

其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解根据分治法的分割原则，原问题应该分为多少个子问题才较适宜？各个子问题的规模应该怎样才为适当？答: 但人们从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。换句话说，将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。许多问题可以取 k = 2。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。 　　

分析： 　　由于顺序表的结构没有给出，作为演示分治法这里从简顺序表取一整形数组数组大小由用户定义，数据随机生成。我们知道如果数组大小为 1 则可以直接给出结果，如果大小为 2则一次比较即可得出结果，于是我们找到求解该问题的子问题即: 数组大小 <= 2。到此我们就可以进行分治运算了，只要求解的问题数组长度比 2 大就继续分治，否则求解子问题的解并更新全局解

 

第三步：问题的描述

假设有n=2^k 个运动员要进行网球循环赛。设计一个满足一下要求的比赛日程表：

1. 每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次

2. 每个选手一天只能赛一次

3. 循环赛一共进行n-1天

 

第四步：算法设计

4.1文字描述

假设n位选手顺序编号为1，2，3……n，比赛的日程表是一个n行n-1列的表格。i行j列的表格内容是第i号选手在第j天的比赛对手。根据分而治之的原则，可从其中一半选手的比赛日程，导出全体n位选手的的日程，最终细分到只有两位选手的比赛日程出

4.2框图描述

4.3伪代码

public static void Table(int n,int[][]a)  {

	       int b  =  2;  

	       n  =  saicheng.x;//参赛人数

	       int  k=(int) (Math.log(n)/Math.log(b)); //计算输入值是2的几次幂

	       for(int i=1;i<=n;i++)

	       {

	           a[1][i]=i;//打印出第一行即选手1的赛程表

	       } 

	       int m=1;//控制每一次填充表格时i（i表示行）和j（j表示列）的起始填充位置

	       for(int s=1;s<=k;s++)

	       {

	            n/=2;//将问题分成k部分

	            for(int t=1;t<=n;t++)//对每一部分进行划分

	            {

	                for(int i=m+1;i<=2*m;i++)//控制行

	                {

	                    for(int j=m+1;j<=2*m;j++)//控制列

	                    {

	                        a[i][j +(t - 1) * m *2] = a[i - m][j + (t - 1) * m * 2 - m];//右下角等于左上角

	                        a[i][j + (t - 1) * m * 2 -m] = a[i - m][j + (t - 1) * m * 2];//左下角等于右上角

	                    }

	                }

	            }

	          m*=2;

	       }

	    }

五、详细设计及说明

  1.输入一个数字n，根据（x&（x-1））==0判断n是否等于2^k。不是则提示重新输入；是则利用换底公式k=(int)(Math.log(n)/Math.log(b))求出k.

    2.用一个for循环输出日程表的第一行

for(int i=1;i<=N;i++)

a[1][i] = i；

1

2

3

4

5

6

7

8

    图5-1

    3定义一个m值，m初始化为1，m用来控制每一次填充表格时i（i表示行）和j（j表示列）的起始填充位置。

    4.用一个for循环将问题分成几部分，对于k=3，n=8，将问题分成3大部分，第一部分为，根据已经填充的第一行，填写第二行，第二部分为，根据已经填充好的第一部分，填写第三四行，第三部分为，根据已经填充好的前四行，填写最后四行。

for (int s=1;s<=k;s++)

N/=2;

    5.用一个for循环对4中提到的每一部分进行划分

for(int t=1;t<=N;t++)

对于第一部分，将其划分为四个小的单元，即对第二行进行如下划分

 

 

 

 

 

 

图5-2

同理，对第二部分（即三四行），划分为两部分，第三部分同理

    6.最后，进行每一个单元格的填充。填充原则是：对角线填充

for(int i=m+1;i<=2*m;i++)   //i控制行          

    for(int j=m+1;j<=2*m;j++)  //j控制列           

    { 

        a[i][j+(t-1)*m*2] = a[i-m][j+(t-1)*m*2-m];/*右下角的值等于左上角的值 */ 

        a[i][j+(t-1)*m*2-m] = a[i-m][j+(t-1)*m*2];/*左下角的值等于右上角的值 */

         } 

例:由初始化的第一行填充第二行

表5-1

1	2	3	4	5	6	7	8
2	1	4	3	6	5	8	7

进行第二部分的填充

表5-2

1	2	3	4	5	6	7	8
2	1	4	3	6	5	8	7
3	4	1	2	7	8	5	6
4	3	2	1	8	7	6	5

最后是第三部分的填充

表5-3

1	2	3	4	5	6	7	8
2	1	4	3	6	5	8	7
3	4	1	2	7	8	5	6
4	3	2	1	8	7	6	5
5	6	7	8	1	2	3	4
6	5	8	7	2	1	4	3
7	8	5	6	3	4	1	2
8	7	6	5	4	3	2	1

 第七步：总结

根据分治算法，将本问题进行了由小规模到大规模的求解设计，程序设计的关键点在于如何对问题进行划分和填充公式的归纳。在划分时，主要运用了两个for循环；在填充时，运用了两个for循环。通过这次程序设计，加深了对分治算法的认识。解决具体问题时，程序故重要，但一个好的算法更加重要。不足之处即花费了很长时间来推导这个算法，对算法掌握还不够熟练。

 

 分析一个复杂问题，可以按照这七步，逐步求解。