装箱问题（洛谷）

题目

原题

题目描述

有一个箱子容量为 $V$，同时有 $n$ 个物品，每个物品有一个体积。

现在从 $n$ 个物品中，任取若干个装入箱内（也可以不取），使箱子的剩余空间最小。输出这个最小值。

输入格式

第一行共一个整数 $V$，表示箱子容量。

第二行共一个整数 $n$，表示物品总数。

接下来 $n$ 行，每行有一个正整数，表示第 $i$ 个物品的体积。

输出格式

• 共一行一个整数，表示箱子最小剩余空间。

样例 #1

样例输入 #1

24 6 8 3 12 7 9 7

样例输出 #1

0

提示

对于 $100\%$ 数据，满足 $0<n\le 30$，$1\le V\le 20000$。

【题目来源】

NOIP 2001 普及组第四题

思路

这是一道很经典的动态规划问题。需要使剩下的空间经可能低，也就是需要经可能使得装进去的物品体积之和经可能大。
这和动态规划的背包问题差不多，方法是将物品作为外循环遍历，背包大小作为内循环遍历，这里以空间为4，物品体积分别为2 、3、4为例,最大可装入物品空间大小为：

物品\背包	v=1时	v=2时	v=3时	v=4时	v=5时
物品1（2）	0	2	2	2	2
物品2（3）	0	2	3	3	5
物品3（4）	0	2	3	4	5

状态转移方程式f(i,j)=max[f(i-1,j),f(i-1,j-a)+w(a)]这里的计算过程以格（2，5）为例 f(2,5)=max(f(1,5),f(1,5-3)+w(2))其中w(2)是物品二空间大小。从这里可以看出计算大箱子时只需要用到小箱子数据，而且只会用到前一行的小箱子数据，因此根据这个原理只需要在遍历箱子大小时候，从后往前遍历就可以直接使用一维数组完成这个过程，无需使用二维数组。
这里的最终结果就是右下角值5，我们只要使程序做到这个表格的效果即可得到最终结果。

代码

#include
using namespace std;
int dp[20001];
int ob[30];
int main(){
	int v,n;
	cin>>v>>n;
	for(int i=0;i<n;i++){
		cin>>ob[i];
	}
	
	//动态规划
	for(int i=0;i<n;i++){//外层遍历物品
		for(int j=v;j>=ob[i]&&j>0;j--){//遍历背包大小，这里终止值是j>=ob[i]因为只有满足这个条件这个物品才可能放进箱子。
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-ob[i]]+ob[i]);
		}
	} 
	//输出右下角值作为答案
	cout<<v-dp[v];
}