不同进制之间的转换

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前言

这一章，介绍一下不同的进制。
是否留意过，为什么经常能够看到一些以0x开头的数字呢？
其实，这些数字都是16进制的。前缀0x用于提示该数字为16进制。
一些其它的前缀还有二进制数0b，八进制数0o。

进制转换

如何转换进制呢？先来看看10进制转2进制吧。

10进制转2进制

方法1

概括来说，就是“余数倒序”法。每次都求出数字除以2的余数，再将数字除以二并删去小数直到数字为0；最后将这些余数倒过来。
例如，将$114514$转换为2进制：

当前数字	算式	结果	余数
$114514$	$114514÷2=$	$57257$	$0$
$57257$	$57257÷2=$	$28628$	$1$
$28628$	$28628÷2=$	$14314$	$0$
$14314$	$14314÷2=$	$7157$	$0$
$7157$	$7157÷2=$	$3578$	$1$
$3578$	$3578÷2=$	$1789$	$0$
$1789$	$1789÷2=$	$894$	$1$
$894$	$894÷2=$	$447$	$0$
$447$	$447÷2=$	$223$	$1$
$223$	$223÷2=$	$111$	$1$
$111$	$111÷2=$	$55$	$1$
$55$	$55÷2=$	$27$	$1$
$27$	$27÷2=$	$13$	$1$
$13$	$13÷2=$	$6$	$1$
$6$	$6÷2=$	$3$	$0$
$3$	$3÷2=$	$1$	$1$
$1$	$1÷2=$	$0$	$1$

最后，将余数倒过来：$11011111101010010$。
所以，$(114514{)}_{10}=(11011111101010010{)}_2$

方法2

概括来说，叫“2的幂次法”。不停地求2的幂，直到比需要转换的数字大。之后，逐个进行比较，大于记为$1$，然后相减，小于记为$0$。具体如下，还是$114514$：

$2^{17}$	$2^{16}$	$2^{15}$	$2^{14}$	$2^{13}$	$2^{12}$	$2^{11}$	$2^{10}$	$2^9$	$2^8$	$2^7$	$2^6$	$2^5$	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
$131072$	$65536$	$32768$	$16384$	$8192$	$4096$	$2048$	$1024$	$512$	$256$	$128$	$64$	$32$	$16$	$8$	$4$	$2$	$1$

过程：

当前数字	比较算式	结果	算式
$114514$	$114514\ge 131072$	False(0)	/
$114514$	$114514\ge 65536$	True(1)	$114514-65536=48978$
$48978$	$48978\ge 32768$	True(1)	$48978-32768=16210$
$16210$	$16210\ge 16384$	False(0)	/
$16210$	$16210\ge 8192$	True(1)	$16210-8192=8018$
$8018$	$8018\ge 4096$	True(1)	$8018-40963922$
$3922$	$3922\ge 2048$	True(1)	$3922-20481847$
$1847$	$1847\ge 1024$	True(1)	$1847-1024=850$
$850$	$850\ge 512$	True(1)	$850-512=338$
$338$	$338\ge 256$	True(1)	$228-256=82$
$82$	$82\ge 128$	False(0)	/
$82$	$82\ge 64$	True(1)	$82-64=18$
$18$	$18\ge 32$	False(0)	/
$18$	$18\ge 16$	True(1)	$18-16=2$
$2$	$2\ge 8$	False(0)	/
$2$	$2\ge 4$	False(0)	/
$2$	$2\ge 2$	True(1)	$2-2=0$
$0$	$0\ge 1$	False(0)	/

若将False记为$0$，将True记为$1$，那么将所有的比较结果从上往下排一遍，就得到了$011011111101010010$。即，$(114514{)}_{10}=(11011111101010010{)}_2$

2进制转10进制

假设有一个二进制数：$(10110101{)}_2$，那么它的十进制是多少呢？
依然列出刚才的“幂次表”，将该二进制数填进去：

$2^7$	$2^6$	$2^5$	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
$128$	$64$	$32$	$16$	$8$	$4$	$2$	$1$
$1$	$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$0$	$1$

然后，观察二进制数：如果当前位是1，那么就将上面的幂次加起来。
$2^7+2^5+2^4+2^2+2^0$
$=128+32+16+4+1$
$=181$

所以，$(10110101{)}_2=(181{)}_{10}$

10进制转n进制

其实方法和前面介绍的“余数倒序”法大同小异。直接上例子：将$(1919{)}_{10}$转换为$16$进制。

当前数字	算式	结果	余数
$1919$	$1919÷16=$	$119$	$15$
$119$	$119÷16=$	$7$	$7$
$7$	$7÷16=$	$0$	$7$

再按照16进制的规则，10进制下的二位数分别对应16进制下的一位数：

10进制	16进制
$10$	$A$
$11$	$B$
$12$	$C$
$13$	$D$
$14$	$E$
$15$	$F$

将余数倒序过来后，是$77F$。
所以$(1919{)}_{10}=(77F{)}_{16}$

n进制转10进制

和前面写的“幂次表”法相类似，由当前位乘幂次。
例：16进制数$(810A{)}_{16}$转换为十进制是多少？

$16^3$	$16^2$	$16^1$	$16^0$
$4096$	$256$	$16$	$1$
$8$	$1$	$0$	$A$

$10\times 16^0+0\times 16^1+1\times 16^2+8\times 16^3$
$=10\times 1+0\times 16+1\times 256+8\times 4096$
$=33034$

所以$(810A{)}_{16}=(33034{)}_{10}$。

2进制与8进制和16进制之间的快速转换

由于$8=2^3,16=2^4$，它们之间存在倍数关系，所以2进制转换为8进制和16进制有一种快捷的方法。
现在，列出对应的表：

16进制	8进制	2进制	10进制
$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$	$1$
$2$	$2$	$10$	$2$
$3$	$3$	$11$	$3$
$4$	$4$	$100$	$4$
$5$	$5$	$101$	$5$
$6$	$6$	$110$	$6$
$7$	$7$	$111$	$7$
$8$	$10$	$1000$	$8$
$9$	$11$	$1001$	$9$
$A$	$12$	$1010$	$10$
$B$	$13$	$1011$	$11$
$C$	$14$	$1100$	$12$
$D$	$15$	$1101$	$13$
$E$	$16$	$1110$	$14$
$F$	$17$	$1111$	$15$

将16进制转换位2进制时，将每一位16进制替换为4位对应的2进制；若是8进制则替换为3位。
举个例子：
16进制数$(ACF4561{)}_{16}$的二进制是什么？

A	C	F	4	5	6	1
1010	1100	1111	0100	0101	0110	0111

所以$(ACF4561{)}_{16}=(1010110011110100010101100111{)}_2$。

再举个例子：8进制数$(6257134{)}_8$的二进制是什么？

6	5	2	7	1	3	4
110	101	010	111	001	011	100

所以$(6257134{)}_8=(110101010111001011100{)}_2$。

而2进制转换为8进制、16进制也是如此：每3个或4个2进制位（bit）分成一组，然后替换为对应的8进制或16进制数。

如：$(1001011{)}_2$转换为16进制为多少？

0100	1011
4	B

所以$(1001011{)}_2$=$(4B{)}_{16}$。

代码实现

10进制转n进制

C++

string dec_to_m(int n,int m){ //十进制数n转m进制
	string digit = "0123456789ABCDEF"; //位数
	if(n == 0){ //如果除完了
		return "";
	}
	
	return dec_to_m(n / m,m) + digit[n % m]; //依次相除并添加位数
}

Python

def dec_to_m(n,m): #十进制数n转m进制
	digit = "0123456789ABCDEF" #位数
	if n == 0: #如果除完了
		return ""
	
	return dec_to_m(int(n / m),m) + digit[n % m] #依次相除并添加位数

n进制转10进制

C++

long long int n_to_dec(string m,int base){ //base进制的数字m
	reverse(m.begin(),m.end()); //将数字反转过来，方便遍历
	long long int ans = 0; //十进制的数
	for(int i = 0;i < m.size();i++){ //遍历每一位
		int digit; //当前位
		if('0' <= m[i] and m[i] <= '9'){ //将字符转换为整数
			digit = m[i] - '0';
		}
		else if('A' <= m[i] and m[i] <= 'Z'){ //如果是16进制则需要处理字母
			digit = m[i] - 'A' + 10;
		}
		else if('a' <= m[i] and m[i] <= 'z'){ //如果是16进制则需要处理字母
			digit = m[i] - 'a' + 10;
		}
		ans += pow(base,i) * digit; //依次累加
	}
	return ans;
}

Python

其实python可以直接作转换，只要int(number,base)即可。不过这里还是完整写一遍进制转换以方便读者理解。

def n_to_dec(m,base): #base进制的数字m
    m = m[::-1] #将数字反转过来，方便遍历
    ans = 0 #十进制的数
    for i in range(len(m)): #遍历每一位
        digit = 0 #当前位
        if ord('0') <= ord(m[i]) <= ord('9'): #将字符转换为整数
            digit = ord(m[i]) - ord('0')
        elif ord('A') <= ord(m[i]) <= ord('Z'): #如果是16进制则需要处理字母
            digit = ord(m[i]) - ord('A') + 10
        elif ord('a') <= ord(m[i]) <= ord('z'): #如果是16进制则需要处理字母
            digit = ord(m[i]) - ord('a') + 10
        ans += base ** i * digit #依次累加
    return ans

结尾

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