变分法：基本的符号和公式
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分部积分
设函数 u = u ( x ) u=u(x) u=u(x)和 v = v ( x ) v=v(x) v=v(x)具有连续导数,则两个函数乘积的导数公式为:
( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)'=u'v+uv' (uv)′=u′v+uv′
⟹ u v ′ = ( u v ) ′ − u ′ v \Longrightarrow uv'=(uv)'-u'v ⟹uv′=(uv)′−u′v
⟹ ∫ u v ′ d x = u v − ∫ u ′ v d x \Longrightarrow \int uv'dx=uv-\int u'vdx ⟹∫uv′dx=uv−∫u′vdx
⟹ ∫ u v ′ d x = u v − ∫ u ′ v d x \Longrightarrow \int uv'dx=uv-\int u'vdx ⟹∫uv′dx=uv−∫u′vdx
【摆语】如果求 ∫ u v ′ d x \int uv'dx ∫uv′dx有困难,而求 ∫ u ′ v d x \int u'vdx ∫u′vdx比较容易时,分部积分公式就可以发挥作用了。
如求： ∫ x 2 e x d x \int x^2e^xdx ∫x2exdx。求 ∫ x 2 e x d x \int x^2e^xdx ∫x2exdx比较困难，但求 ∫ x e x d x \int xe^xdx ∫xexdx比较容易。
多元函数的泰勒展开
展开后为：
